Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
оо
Rj(s, х)= ^ е~и ^ P(s, х, s + (, dy)f(y) (14)
U
удовлетворяет условию
lim RJ (s + h, у) = Rj (s, x).
h^O
y->x
Тогда процесс {xs(t, со), ©*, Ps, x] является строго марковским. Доказательство. Пусть х — некоторый s-марковский момент.
Положим гп — —-—, если — < т ^—-—. Очевидно, хп^х И = = j (здесь [лг]
П
обозначает целую часть х). Значит, хп — также s-марковский момент. Поэтому в силу леммы 2
M*,*(g(*g(Tn + f, ю))]@?п) =
= MVMV“)?(-4l(Tn +®)) (modF>s.x)- (15)
Левая часть (15) совпадает с
Mu,xg(xu{u+ t, со)), (16)
если положить и = т„, х = xs(xn, со). В силу непрерывности xu(u-\-t, со) по t справа при непрерывных g выражение (16) также непрерывно по t справа и, значит, интегрируемо. Поэтому и функции, стоящие в равенстве (15), интегрируемы по t. Следовательно,
оо
5 e-wMs, X- (g (xs (т„ -f t, со)) I dt =
0
oo
= ^ e~MMxn. xs (t„, m)g (x%n (xn -f t, со)) dt (mod Ps, x). (17)
0
Пусть A e ©t- Тогда
лп{т„<о = лп{тп<М) = лп{т<М}е®?.
Значит, A e . Умножая (17) на %A и беря Ms, получим
oo
5 e-MMs, xg {xs (t„ + t, со)) %A dt = M,., xRKg (t„, (t„, co)) %a.
0
394 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII
Переходя к пределу при п-* оо и учитывая, что т„^т, т„->т, a xs{xn-\-t, со)х$(т + t, со), и условие 2) теоремы, находим
ОО
\ e~MMs, xg (xs (т + t, со)) %А dt = Ms, xRkg (т, xs (т, со)) %А =
О
ОО
= Ms, * ^ е~мМх. Xs (т, a)g (хх (т + t, со)) Хл dt =
О
со
= ^ e-uUs, *МТ, *я (т, ш)ё (Хх (т + t, со)) Хл dt.
о
Из того, что две непрерывных справа функции имеют одинаковые преобразования Лапласа, вытекает совпадение этих функций. Поэтому
+ ‘°))Хл = М,.жМТ1Жв(Т1в)г(^(т + <> со)) хл (18)
для всех Ле©?. Значит, (13) выполнено для ограниченных
непрерывных измеримых g, а следовательно, и для всех ограниченных измеримых g. ©^-измеримость xs(x, со) вытекает из леммы 1. В
Соотношение (13) для строго марковских процессов может быть обобщено следующим образом.
Пусть ti<t2, gi(x) и g2(x) — две ограниченные измеримые функции, а т — s-марковский момент. Тогда т + tx также является s-марковским моментом: при и > t\ -f s
{f + t] <«} = {т <« — t^ е©?_<, cz ©„.
Легко убедиться, что ©? + (,=> ©?. Запишем соотношение (13)
для функции g2 и момента x-\-t\\
М.. x{s2(*s (т + ^2> “)) I ®T+<j) = Xs (x+tv a)&2 (^Cx+tl (T + *2’ “))•
Умножив это равенство на g\ (xs(t + t\, со)) и беря условное математическое ожидание относительно ©?, получим
Ms,*(giUs(T + fl. “))g2(^s(T + t2, co))|©?) =
=“M,.,(ffI(*,(T + f1, ®))Мт+<1>Жв(т+<1>и)г2(^+<1(т + #2, CO)) I ©J).
Используем теперь следующее равенство: если f(x,s)—ограниченная 33 X St-измеримая функция, х — s-марковский момент, то
* (/ (*« (т + t, со), т) 13?) =
= мх, xs {х, со)/ (Хх (т + t, со), т) (mod PSj х) (18)
§ 2] ОБЩИЕ СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 395
(правая часть (18) есть результат подстановки и = т, х — = xs(x, со) в функцию Mu,xf(xu(u + t,<s)),u)). Равенство (18) очевидно, если f(x, и) = f\{x)gi(u) в силу @т-измеримости величины т и соотношения (13). Далее можно воспользоваться тем, что функция f(x,u) является пределом по любой мере на
0 X ^-последовательности функций вида
Hfk (х) 8к (и), k
Используя (18), можем записать
M(?lOS(T + *l’ “))Мт+<llMT+*1,e)?2(*T+f1Cr + *2>
= Мт ^ (Т; (т + ^, (0)) Мт+?1 ^ <в)^2 (т +
Таким образом,
* (gi (т -|-tu to)) g2 fo (т + t2, со)) | ©0 =
= Сй))Х X Mx+tv Хх {x+tv a)g2 (xx+h (т + tv «а)) (mod Pe> x).
Аналогично устанавливается следующая формула: для 0 < t\ <
< U < ... <tk, ограниченных измеримых функций gi{x), ...
¦ ••» gk{x) и s-марковского момента т
М5, * (П 8/ (х, (т + th со)) | ©?) =
= Мт, ^ (т, B)g, (хх (т + со)) Мт+<1 ^ {x+iv a)g2 (хх+и (т + t2, со)) ...
Мт+<А_,, xx+tk_ (y-\-tk-ua)gk{xx+ik_l(x-\-tk,(Si)) (mod PStX). (19) Из (19) с помощью (8) и (6) получаем следующую формулу:
Mit * (j[ 8] (xs (т + th со)) | ©?) =
к
= Mt> (т, 0» П 8j (Хх (Т + tj, со)) (mod Ps, х). (20)
§ 2. Общие скачкообразные марковские процессы
Пусть (X, S3)— произвольное измеримое пространство, а сг-ал-гебра S3 содержит все одноточечные множества. Марковский процесс {*i(^, со), ©*, Ps, Л называется ступенчатым, если для всех s и х
