Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, обозначим через 310 алгебру множеств, порожденную множествами вида [^, ^]Х^, [^ь ^]сг[0, Т], A feS9R.
§ 4] СТРОЕНИЕ ОБЩИХ ПРОЦЕССОВ Зд]
Если АI, ..., Ak ¦—непересекающиеся множества на 910, то можно указать такие непересекающиеся множества Д* = = [^г)> 4’*] X Аг г'=1, N, что А* являются суммами Д*. При этом множества Дг возможно подобрать так, чтобы при различных г как отрезки [^г), ^г)], так и множества Л, либо не пересекались, либо совпадали. В этом случае независимость v*(A!) является следствием независимости \(t,At) при различных Аг и независимости приращений \(t,Ai). Из независимости v*(A*) вытекает независимость v* (А]). Эти величины имеют распределение Пуассона, как суммы независимых пуассонов-ских величин. Для доказательства остается заметить, что
а(И0) = ®г-
Обозначим через lz(t) процесс, полученный из l(t) после выбрасывания скачков, превосходящих по абсолютной величине е: ge(/) = ?(/) — l(t,Xe). Процесс le(t) будет стохастически непрерывным процессом с независимыми приращениями, скачки которого не превосходят е. Можно ожидать, что при е->0 le(t) будет сходиться к некоторому непрерывному процессу с независимыми приращениями. Это оказывается верным, если из le(t) вычитать специально подобранные непрерывные неслучайные функции. Для доказательства этого факта потребуется следующая
Лемма. Пусть ?,е(0) = 0; тогда М||е(012<°°. Доказательство. Пусть 0 = tnQ < tnl = t и
lim max {tnk = 0. Положим lnk = г|),е (?e (/„*) — |e {tn,k-i)),
П -> со k
где г|:а (x)=x при |л:|^а, г|:а(л;) = 0 при | x | > а. Легко видеть, что с вероятностью 1
|е (0= lim Zink- (3)
П~>оо
Заметим, что все слагаемые в этой сумме не превосходят по абсолютной величине 2е. Обозначим [х\, ..., хт} ортонормирован-
П
ный базис в X. Если бы ? D {\nk, xt) была неограничена при
k= 1
некотором I, то можно было бы выбрать такую последователь-
П
ность п, чтобы 2 D (lnk, х{) -> оо. В таком случае величины
__ №nk ~ M^nk’ xi)
T)nk- - ¦¦¦.
yZD(l»rxt)
удовлетворяли бы условиям центральной предельной теоре-
П
мы. Тогда сумма Z Vnk имела бы нормальное предельное
k—\
362
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
[ГЛ. VI
распределение, так что для любого а
lim Р {lllk, х{) > а Л/ Е D (|„ь х?) + Е xt) j- =
п->оо Ч& = 1 v й = 1 ? = 1 )
оо
= —-— \ р-ц!/2 и а V2jx J 6
Hm PjZ (|„ь XiX-a-ylD (gn4, л,) + X (ME„t> *,)) =
n->0O = l V ?=j J
= -4= \ e~u!/9-du. V2n J
— CO
Последние соотношения противоречат ограниченности по вероят-
П
ности Е (Ink, %i), которая вытекает из соотношения (3). Таким
k=i
П
образом, Е D [Ink, xt) ограничена для всех i.
k~ i
Заметим, далее, что на основании неравенства Чебышева
-а
г
( п п \
р I Z &»*> xi) - Е м (&»*>Xi) > 4
k=l ft=l J
ft=l
/г = 1 ft = l
n
Отсюда и из ограниченности по вероятности величины Е (gnft, xt)
ft=i
вытекает ограниченность М Е (|„ь х{). Так как
М
п 2 Г / п \ 2
Zink — М Е I Е (Ink, Xt) ) =
k=l i — l \k~l J
— E Fd E (ink, xi) + Гм E (ink, *i)l 1.
i = i L k=\ \ k=i J J
то ограничено M
E I
nk
, а значит, и M i ?.е (z1) |2, поскольку
/г=1
М | |e (t) |2 < lim М
Z.I
k—\
nk
Пусть последовательность е„ монотонно стремится к нулю. Обозначим через Д* множество тех л:, для которых ей <С |*‘|^
§ 4]
СТРОЕНИЕ ОБЩИХ ПРОЦЕССОВ
363
-g; 6а_ь k = 2, 3, ..,, а через Ai — множество тех х, для которых \х\> г\. Заметим, что
tn
!,,«) = ?i(*, Д.)+ ?.„«)
