Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
&=*1
оо
каются, то v (t, А) — Zv(^. ДО и. следовательно, а- 1
оо
Mv(f, Л)= Ак)
k = \
356
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
[ГЛ. VI
ввиду ТОГО, что
Z vft Ak)^v(t, Л).
*=1
Для изучения свойств величины \(t,A) полезно рассмотреть процесс ?(/, Л), определяемый соотношением
?(/, Л) = ? [g(s + 0)-?(s-0)]X,i(?(s + 0)-?(s-0)),
S<t
где %а(х) — индикатор множества А. Другими словами, l(t,A) является суммой скачков процесса ?(/), которые произошли до момента t и попали в множество А. Если /1е0е, то число таких скачков с вероятностью 1 конечно, так что ?(/, А) имеет смысл. Из стохастической непрерывности y(t,A) вытекает стохастическая непрерывность ?(/, Л). Кроме того, ?(/, А) является процессом с независимыми приращениями. Важнейшее свойство процессов ?(/, А) — независимость процессов 1(1, А{), ..., ?(/, Лл) при попарно непересекающихся множествах А\, А2, Лй—¦ вытекает из следующей теоремы.
Теорема 1. Для всякого /1е0? процессы ?(/, Л) и ?(/)—
— l(t,A) являются независимыми процессами с независимыми приращениями.
Доказательство. То, что ?(/)— ?(/, А) является стохастически непрерывным процессом, вытекает из стохастической непрерывности процессов ?(/) и ?(/, Л). Те же соображения, что и относительно v(t,A), позволяют утверждать, что процесс [?(/, Л); ?(/)— ?(/, Л)] в X X X также будет процессом с независимыми приращениями. Для доказательства независимости процессов ?(/, А) и ?(/)—?(/, Л) достаточно поэтому установить, что при Z\ и г2 е X, s < t будет М ехр {/ (zu ? (t, А) — ? (s, Л)) +
+ г’(22> ? (0 — ? (t, А) — ?(s) + ? (s, Л))} =
= М ехр (г (zu ? (t, А) — g (s, Л))} X X М ехр {/ (z2, ?(/)-? V, А) - I (s) + g (s, Л))}. (1)
Действительно, из независимости приращений процесса [?(/,Л);?(/)—?(/,Л)] вытекает, что для любых 0 < t0 < ...
.. . <tn — T, z{2k) e X выполняется соотношение
M ехр {г ? [(z,w, g (tk, А) — ? (tk-u Л)) +
k=\
+ (z{2k), ? (tk) — ? (tk, A) — ? (tk-i) + ? (tk-1, Л))] j =
= M exp {i (zlw, ? (tk, A) - I (tk-u Л)) J X
X м exp |г g (zih), ? (tk) - ? (tk, A) - ? (tk-i) + ? (4-1, Л)) j ,
§ 4]
СТРОЕНИЕ ОБЩИХ ПРОЦЕССОВ
357
а это означает независимость процессов |(^,Л) и l(t)—g(?, Л). Докажем соотношение (1) сначала для того случая, когда П(7\Га) = 0, где Га — граница множества Л. Заметим, что в этом случае у процесса l(t) с вероятностью 1 отсутствуют скачки, попадающие на Га. Пусть s — tno<in\< ... < tnn = = t и
lim max (tnk + l — tnk) = 0.
n-> OO ft
Тогда, если %A (x) — индикатор множества А, то с вероятностью 1 выполняется соотношение
l(t, A)-l(s, А) =
— lim ZlA(UtnP)-l(tn,k-{))[l{tnk)-l(tn,k^)]. (2)
tl-> OO k~\
Положим
Ink = Хл (I — I (tn, k-lj) [| (tnk) — ? (4, fc-l)]>
Цпк == 5 ? (^n. 4 -1)
Для доказательства (1), принимая во внимание (2), достаточно показать, что
lim
«->00
М ехр
I i Z (zi, ink.
+ i Z (22, л«*)
a=i
— М ехр | i Z (zi, Ы | М ехр | г Z (z2. ]
= 0.
Воспользовавшись независимостью пар г)„*) и неравенством (при |аА|<1, |М<1)
П «а — П Ьк
ft=l
ft=I
< Z \ak — bk l>
убеждаемся, что
M
exp ^ i (Z (zi> Infe) Z (^21 ^
— M exp | i Z (zi, |„fe) | M exp | г Z; fe. тЫ j tl
П м exp {i (zj, |nft) + г (z2, —
ft=i
П м exp{i (z,, ?„*)} M exp {/ (z2,
k=i
< z I M exP {«¦ (г1> Inft) + i (z2> Лпй)}
A = 1
— M exp {г (z,, ?„*)} M exp {t (z2, rinft)}
358 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ ГГЛ. VI
Так как (zu g„ft) (z2, r\nk) = 0 (т. е. обе эти величины не могут одновременно быть отличными от нуля), то
оо
ег(г1-*„*)+'(г2- \к) =14_ V lnk) + i(z2, r\nk))
V^nk) + i(z2‘ \k) — 1 _j_ ^ ^
m~l
OO
= 1 + ? + = el (ZV ink) + j (*2. %k) _ 1.
m* 1
Поэтому
I M exp {г (zb |„*) + г(22, ri„fe)} — Mexp{i(zb g„ft)}Mexp{/(z2, r\nk)} | = = j M exp {i (zb lnk)} — 1 || M exp [i (z2, цпк)} — 1 |.
Ho
| lnk) _ 1 j<M | ег(г>’5»*) - l|<2P{||„ft|> 0} =
= 2P{xA(|(W-|«n.ft-i))>0}
И ДЛЯ ВСЯКОГО p > 0
I ’•«ft) - l|< sup |l -e,'^’")| + 2P{|rlftfe|>p}.
UKp
Следовательно,
