Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
lim
n-? oo
M exp | i (zb Z Ink) + 1 (z2, Т>Ъпк) | —
— Mexp j; (zb Zl nk
)}мехр{« (2г,
%
< lim ( sup | e‘(Zi’ — 1 | + 2 sup P {| цпк | > p}) X
П-*оо | X l^p k
X lim 2 E P {Хл (I (tnk) — I (*„, ft-i)) > 0} =
П-* oo i
= 2 iim ( sup | e‘ <z»-— 1 | + 2 sup P {| r\nk | > p}) X
П->оо |я| sClp &
___ П
X lim M ZxA{l{tnk)-l{tn,k-\))-
П-* oo 1
Так как при p<e (Ле23в)
P {I 4nk \ > p} < P {1g [tnk) — g (tn. ft-l) I > P}> то из равномерной стохастической непрерывности g(tf) вытекает, что lim Р{|л„«1> Р) =0.
П-»оо
Учитывая то, что
п
lim 2 Ха(1 (tnk)~ l(tnik-i)) = v(t, A) — v(s, А)
rt->с«о k = i
СТРОЕНИЕ ОБЩИХ ПРОЦЕССОВ
359
с вероятностью 1, точно так, как при доказательстве теоремы 1 § 2, находим, что
П
lim М 2 Хд(!(Ы — ОХ
n-> oo k—l
— InP{v(f, A) — v (s, Л) — 0} = С < oo.
Таким образом, lim
M exp | / J] + / (z2, Z Лп*) j —
— M exp | i (zu f] Ink ) j M exp j i (z2, J] 4nkJ }
<C
^2С sup | e'(22> x) — 1 |. li|<p
Переходя к пределу при р->0, получим (1), что и доказывает теорему для того случая, когда П(7\ Га) = 0.
Переходя к общему случаю, заметим предварительно, что совокупность множеств 21, для которых теорема справедлива, образует монотонный класс (см. Халмош [1], гл. 1, § 6), так как для любой последовательности множеств Ап из §Эе с вероятностью 1 справедливы соотношения
At, UV) = lim lit, [j Л*,),
\ П / П-> CO \ k= i /
,(t, ПЛг! = lim lit, f) Лй)
\ П J П-> oo \ k—l /
и операция предельного перехода не нарушает независимости случайных величин. Легко также обнаружить, что в том случае, когда е>0 таково, что П(7\ Г*) = 0, множества Л из 2Эе. для которых ЩГ, Га) — 0, образуют алгебру множеств. Но всякая монотонная алгебра является cr-алгеброй (см. Халмош [1], гл. 1, § 6), так что 21 является cr-алгеброй. Наконец, заметим, что в 21 входят сферы с центром в каждой точке со сколь угодно малыми радиусами (поскольку границы сфер 5р(х) с одним и тем же центром х, но различными радиусами р не имеют общих точек, то не более чем для счетного множества значений р П(7\ Гзр(х)) > 0). Поэтому в 21 входят все открытые множества, принадлежащие ЗЭе, так что 21 содержит S3e. В
Следствие 1. Если А и Л2, ..., Ah принадлежат 2Эе при
некотором е > 0 и попарно не пересекаются, то процессы
k
l(t, Л,), l(t,A2), ..., l(t,Ah) и I (t) — ? I (t, Aj) независимы
i-1
между собой,
360 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ VT
Действительно, процесс
= (J Л,)
/=1 \ /=1 /
не зависит от процесса [J АПроцессы \{t,Aj) полностью
определяются процессом ? , поэтому они в совокупно-
k
сти не зависят от процесса l(t) — Л')- Аналогично совокуп-
l=i
к
ность процессов \(t,A$), j Ф i, l(t) — El(t, Aj) полностью опре-
/“i
деляется процессом l(t)—%(t,Ai), не зависящим от %(t,Ai), так что эта совокупность также не зависит от процесса |(?, А/). Таким образом, среди процессов
к
l(t,Aj), /=1,2,...,*; m~Zl(t,Aj)
/=i
каждый не зависит от совокупности остальных. Отсюда и вытекает наше утверждение.
Следствие 2. Для попарно непересекающихся множеств А[, А2, ..., Ah из 99е процессы \{t,A\), ..., v(t,Ah) независимы между собой.
Это вытекает из предыдущего утверждения, поскольку процесс v{t,A) полностью определяется процессом Щ,А).
Пусть В* — борелевское множество из [0, Т] X Хе. Обозначим через v*(B*) множество тех t, для которых пара (/; g(/ -f- 0) —
— l(t — 0)) принадлежит В*. Легко убедиться, что v* является случайной мерой на сг-алгебре ®е всех борелевских подмножеств [0, Т] X Хе. Положим П*(В*) = Mv* (В*); П*(В*)—конечная мера на 23Ё- Очевидна связь между мерами v(t, А) и мерой V*:
v*([<„ У XA) = v(t2, A) — v(tu А).
Аналогично
П*([^2]ХЛ) = П(г2, A)А).
Следствие 3. Мера v* является пуассоновской случайной мерой с независимыми значениями-, характеристическая функция величины v* (В*) дается формулой
Me»v* (в*) = ехр _ 1) п* (В*)}.
