Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
— К* — 0) = |?(* + 0) —К* — 0)1- Поэтому, если КЧ0 представляет собой сумму всех скачков К0> превосходящих е и происходящих на [0, 0. то
?(8) (0 = \ \x\v(t, dx).
| * 1 > е
Из монотонности процесса КО вытекает, что
? (0 = у (0 + lim ?<Е) (t) = у (t) + lim ( | х | v (t, dx)
е->0 е-*о. J „
374 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ ГГЛ VI
(поскольку ?(0) = 0), где у(t) — вариация непрерывной составляющей процесса g(i). Кроме того,
J |дс|П(/,^) = М[5(0-5(|’(0] <°°-
I X | < I
Наконец, заметим, что если g0(0 — непрерывная составляющая процесса g(^), то
I So (0 — So (0) I < var So (t) = у (t)
in. г]
и, значит,
I(S0(0-S0(0),z)Ky(0IzI-
Но нормально распределенная величина с положительной дисперсией не может быть с вероятностью 1 ограничена какой бы то ни было постоянной (не зависящей от случая). Следовательно, при любом z D(z,g0(0—So(0)) = 0> т. е. B(t) = 0. Таким образом, y(t) является вариацией функции
a(t) = ^ xll (I, dx).
0 < \ х 1<1
Так как var \ xll(^,<ix)^ \ \x\ll(T,dx) конечна,
fn, Л J J
1 ‘ 0 < 1 х I < 1 О < I х | < 1
то и var a(t) < оо. И
[0, Т]
Замечание. Из хода доказательства необходимости вытекает следующее утверждение: если процесс l(t) определяется соотношением
S (0 = S (0) + (0 + ^ xv dx)’
\х | > о
то
g (0 = var g (s) = varans) + [ \x\v(t,dx)
l0-t] l0't] i,|J>o
и характеристическая функция величины t,(t) дается формулой
Ме'АЕ = ехр Ul var а\ (s) + ( (eiK 1 * I — 1) ГЩ dx)\ .
1 [(M1 mJ>o •>
Рассмотрим теперь однородный процесс со значениями в 521. Нас будет интересовать поведение %(t) при ^|0 и t-> оо.
Функцию g{i), непрерывную и монотонно возрастающую при t > 0, будем называть функцией регулярного роста, если существуют такие функции kx(X) и k2{%), что ki(K)->-oo при Л->оо, k2(X) -> 1 при 1 и
kx ^)g(i)<g(Xi)^k2(X)g(t).
§ 5] СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ 375
Функция регулярного роста g{t) называется верхней функ-
цией для процесса §(?) при t f оо (t \ 0), если
Р {ШТ l} = 1 (Р {Пт-Цтт > l}= l).
SW У \ l^o g(t) У )
и нижней функцией при t f оо (t j 0), если
В первую очередь рассмотрим верхние и нижние функции для симметричных однородных процессов с независимыми приращениями. Затем будут рассмотрены верхние и нижние функции для |1(01> гДе Е(0 Уже не обязательно симметричный процесс.
Процесс t(t) называется симметричным, если процессы l{t) и —?(/) имеют одинаковые конечномерные распределения. Нам потребуется следующая
Лемма 1. Если ?(/)—симметричный сепарабельный сто-
хастически непрерывный процесс с независимыми приращениями, то
Р{ sup l(t)>c)^2P{l(T)>c}. (3)
о < t < т
Доказательство. Пусть случайные величины Ег, .... |п независимы и симметрично распределены, ... + Ift-
Тогда
Р {sup Sk > с}< 2Р {S„ > с). (4)
k
Действительно, так как 2P{Sm — Sh ^ 0}^ 1, то
П
P{supSft>c}=? Р{ sup Sf<c, Sk > с} <
k k=“\ i < k — i n
<ZP{ SUP S(<c, Sk> c}2P{S„ — Sfe>0} = k=l i < k—!
ti
= 2?P{ sup S*<c, Sk>c, Sn — Sk^t 0}.
k=\
События { sup Sk> c, Sn — несовместимы, и
i <?— i
каждое из них влечет событие {Srt > с}. Поэтому
П
>P{supSfe > с}.
k
376 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. VI
Формула (4) установлена. Применим теперь формулу (4) к величинам
!, = !(! г)-1(^7-), !,=!(!-).
Тогда
p{,S?.l(^)>r}<2P(E(7')>c}-
Переходя к пределу при я->оо и учитывая, что ?(/) с вероятностью 1 не имеет разрывов второго рода, так что
мы получаем (3). Я
Теорема 3. Пусть |(t)—симметричный однородный сепарабельный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями, a g(t)— функция регулярного роста, для которой
со
$ тР{?(0>г(0}л<°°.
