Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
= jexp{ln(l _Ti_)}==^expj-2l (ттг)"}-находим
5eto^(A!x) = 4|^expJ-|;i-(^x)nj==
|оо г 00 -i 1
ZK^fr)1 J афпМ+ \е^йФп{х)-\ .
П=1 L-oo +0 J J
Окончательно
\eizXdq(K *)=4expJ? 1)^фвМ}. (14)
1/1=1 0 J
Используя представление (4), можем записать
оо
р {I (о < *}=Ф)+? -^г е~в<ф« w- <15>
Л*»1
340 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 1ГЛ, VI
Заметим теперь, что
тг (тгттУ^ \е~м e~atdL
о
Поэтому, обозначая Ft (х) = Р {| (О < л:}, будем иметь (в силу
оо
того, что ^ (eizx — 1) dz (л:) = 0) о
оо оо
\^-\{ei2X-\)dFt{x)dt =
о о
оо 00 00
= Е S е~“ e~at \ ^ ~^афп w dt =
я = 1 0 0
п=\ 0
Следовательно, мы можем выразить правую часть (14) непосредственно через распределение | (/).'
Теорема 4. Пусть |(t) — обобщенный процесс Пуассона, Ft (х) — Р {? (0 < х)- Тогда для функции
оо
ц (Я, г) — [ [ е~и+izx dP {sup | (s) < х) dt 0J J
имеет место представление
Ioo oo |
^ ^ (ei2X — \)dFt(x)dt j. (16)
Следствие. Для того чтобы
Р {sup|(0 < +оо} = 1,
/> о
необходимо и достаточно, чтобы
оо
5|Р{?(0>0}Л<оо. (17)
о
Если это условие выполнено, то распределение величины
|+ = sup|(0 определяется характеристической функцией: t^o
§ 2] СКАЧКООБРАЗНЫЙ ПРОЦЕСС 341
Действительно,
Р {supКО < + °о} = Р I sup ? Tift = + оо
*>0 V п k=l
А из теоремы 2 § 1 вытекает, что последняя вероятность равна 1 тогда и только тогда, когда
оо
?1(1-Ф„(0))<сх>.
П= 1
Воспользовавшись соотношением (15), убеждаемся, что
г
?1(1-Ф„(0))=)|(1-Л(0))Л.
п-1 О
Формула (18) может быть получена из (16) предельным переходом, законность которого следует конечности меры
ОО
О А
на [0, оо), вытекающей из (17).
Пусть х^О. Обозначим
Xх = inf [t\ S, {t) > x], yx = K^ + 0) — I (t'v);
xx называется моментом первого перескока через уровень х, ух— величиной первого перескока через уровень х. Если supKs)^*! считаем т* = + о°; ух в этом случае не опреде-
S < оо
лено.
Найдем совместное распределение величин хх и ух. Обозначим
N (t, у, х) = Р {т* < t, ух > у).
Очевидно, если rh>A:, хх = хи yx = 4i—x. Если то
= + Tj, Y* = ^_Ei.
где ту, уу — соответственно момент и величина перескока для процесса gi (0 = К^ + Ti) ~ l(Ti)- Используя независимость ^ (<) от t! и г|ь получаем следующее уравнение:
N{t, у, я) = Р{т, <t}P{y)i>x+ у} +
t X
+ ^ ^ ae~asN (i — s, у, х — и) йФ (и) ds. (19)
0 —00
342 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ, VI
Пусть
оо
п{%, у, х) = jj e~udtN {t, у, х).
О
Применяя к (19) преобразование Лапласа, находим
*
п{%, у, I1 ~ ф (х + у)]+ § п&> У’ х — и)йф(и).
— оо
(20)
Это уравнение можно рассматривать при фиксированном у. Будем считать, что п(К, у, х) = 0 для х < 0. Тогда его можно переписать так:
в (*) тфг 11-ф (* + *)] =
оо
= е(х) ^ п{Х, у, х — u)d[e(u) — -—-j- Ф(ы)]. (21)
— оо
Это уравнение вида (7). Поэтому для него справедливо соотношение (9):
е (х) ^ е (х — и)-~т [1 — Ф (х — и + у)] dvx (и) =
= ^ /г (Я, у, х — и) dv2 (и).
Умножая это соотношение на е~^х и интегрируя по л: от 0 до оо, получаем
оо оо
^ ^ е (х — и) jzfj- I1 “ ф (х — и + у)\ e-^dVi (и) dx =
о о
со оо
= ^e~'iudv2{u) ^/г(А, у, х)е~»х dx.
о о
Из (12) вытекает, что
00 ( оо оо
^-^dy2(«) = exp{ -Л^(^гг)"5е-^“й?Ф„(«) ¦.
О I /1=1 о
