Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
y + iz
1
2 *
+ i
т~х
(х + iy) + Н~ zj
(x~iy)-{\-z)
16
гл. 1. 'группа вращений и ее представления
Воспользовавшись формулами (12) и (12'), получим w + l + + ,
и аналогично
Ш+2)~а~2)
W' + I _ г,
Отсюда, выражая w и w' через ( и (' и подставляя в формулу (14), находим,
что
С'-1 С-1 •
Решая это уравнение относительно O', мы получаем преобразование,
отвечающее вращению на угол 0 вокруг оси Ох:
Г,с И + 1) + И - 1) _ С cos Y + 1 sin т П5.
С(ег0-1) + (ег9+1) гг sin 1.cos
Мы видим, таким образом, что вращениям вокруг осей Ох и Oz
отвечают дробно-линейные преобразования в плоскости С. Ясно,
кроме того, что произведению вращений отвечает произведение
преобразований в плоскости. Так как всякое вращение можно получить как
произведение вращений вокруг Oz и Ох (см. п. 2), то
и всякому вращению отвечает произведение преобразований вида (13) и (15),
т. е. дробно-линейное преобразование
г, о
fC + b*
Дробно-линейное преобразование (16) однозначно определяется комплексной
матрицей второго порядка
У 5
(17)
Так как С' из формулы (16) не меняется при умножении числителя и
знаменателя правой части на одно и то же число, то, умножив а,
Р, у, § на ± г - , мы можем считать определитель матрицы (17)
У а5 - pY
равным 1 *).
Таким образом, каждому вращению отвечает определенная с точностью до
знака матрица вида (17), для которой а§ - Ру = 1. Напи-
*) Этим условием коэффициенты дробно-линейного преобразования определены
с точностью до знака. О знаке более подробно см. ниже.
П. 4] § 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
17
шем, в частности, матрицы, отвечающие вращениям g? и g9 вокруг осей Oz и
Ох. Вращению §9 отвечает матрица
cos - i sin у
I sin -g- cos -g-
(18)
Вращению g? отвечает преобразование С' = е'К. Записав его в виде
il
е 2 С
, мы получим матрицу преобразования
О <?
(19)
с определителем, равным единице.
Вращение g с эйлеровскими углами <рх, 0, ср2 может быть записано как
произведение вращений g- gb g^ g9r Так как при последовательном
осуществлении дробно-линейных преобразований их матрицы перемножаются в
обратном порядке, то преобразованию g отвечает матрица
g-
COS -g i Sin -g
i sin -g cos -g
0
0 i
COS -g-?
I sin-g- e
Vi-fi
I sin -g- e
cos -g- e
(20)
Матрицы (18) и (19) являются унитарными матрицами с детерминантом 1.
Поэтому и их произведение-матрица (20), отвечающая произвольному
вращению, также унитарна и имеет детерминант, равный 1.
Покажем теперь, что, обратно, всякой унитарной матрице с детерминантом,
равным 1, отвечает некоторое вращение. Из условий унитарности
aj-|-f38 = 0, aa +(3(3=1, у у -f-88 = 1
и равенства а8 - т(3=1 легко вывести, что 8 = а, у =- (3. Поэтому
произвольная матрица рассматриваемого типа может быть
18
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч.
представлена в виде
- Р "а Г
(21)
где
|а|2 + |Р|2= 1.
(21')
Ясно, что матрицу (21) при условии [(210 можно представить в виде (20),
если положить
Таким образом, каждое вращение можно задавать двумя комплексными числами,
удовлетворяющими условию (210, или, что то же, четырьмя вещественными
числами, сумма квадратов которых равна 1.
Итак, мы показали, что всякой унитарной матрице второго порядка с
детерминантом 1 отвечает вращение в трехмерном пространстве. Обратно, как
было показано раньше, всякому вращению отвечают две такие матрицы,
отличающиеся знаком.
Установленное ранее соответствие между вращениями и дробнолинейными
преобразованиями однозначно. С другой стороны, мы видели, что каждое
дробно-линейное преобразование может быть записано с помощью двух матриц
с детерминантом, равным 1. Таким образом, каждому вращению отвечают две
матрицы вида (21). Не следует думать, что мы можем сколько-нибудь
естественно избавиться от двузначности этого соответствия, выбрав
определенным образом знак. Рассмотрим, например, вращение на угол <р
вокруг оси Oz. Ему отвечает матрица
В частности, единичному вращению (ср - 2/гтс) отвечают две матрицы
а углы <pj и ср2 определить из уравнений
е
0
(22)
Если бы мы сопоставили этому вращению лишь матрицу
*) Напомним, что 0 С 0 С те.
П. 51 § 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 19
то, изменяя угол (р = 2я к матрице
непрерывно от 0 до 2тс, мы пришли бы при 0\
(о -D-
Таким образом, если мы не хотим нарушать непрерывности, мы должны
считать, что единичному вращению отвечают обе матрицы (22), Выпишем
мартицу вращения g через комплексные параметры а, 8.
1 _ _ I _
~2 (а2 - р2 -|- а2 - р2) ~2 (-а2 - р2 -|- а2 -jb2) - а|Ь - оф
у(а*_р*_а2 + р2) у(а8 + рг + а4 + р") -/(сф -сф)
ар-)-ар /(-ар-|-аР) аа - Рр
(23)
Для доказательства этой формулы подставим сюда вместо а и [3 элементы
матрицы (20). После несложных преобразований мы придем к выражению (9)
матрицы вращения через углы Эйлера.
Если ПОЛОЖИТЬ a - at -f- iav, P = fij -j- /р., TO В силу условия I a J2
ф- I p I2 = 1 мы можем также считать, что на группу вращений трехмерного
пространства отображена сфера
(24)
*? + Й + "2 + Р1 = 1
