Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
для этих матриц в точности совпадут с формулами для векторного
произведения базисных векторов. Определим по заданным Аи Л2 и Л3 линейное
пространство матриц Л5 вида Л^ + A2S|2 + Л3?3, где 5 = (Е1( ?з) -
произвольный вектор. Тогда из формул легко
вывести соотношение, выражающее коммутатор двух матриц из этого
Л. 2] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 27
пространства снова как линейную комбинацию матриц Ак, т. е. как элемент
того же пространства. В самом деле, из (10) следует, что
А?2-\- А?3, + А2Ч2 + =
= Аз (Si'i'k - ^i) "h Ay (?2т)3 - ^37)2) -f- А2 (53tQi - ^3).
Введя вектор С, равный векторному произведению ? и tj: ?=[?, tj], мы
можем, таким образом, сформулировать следующее утверждение: ¦если матрицы
Ау, Аг и А3 отвечают при некотором представлении бесконечно малым
поворотам вокруг осей координат, то для любых двух матриц вида А% - А& -
j- Л2?2 -ф- Л3^3 и А^ = Ау-Цу -ф--)-Л27]2 4-Л37]3 имеет место равенство
И$> Л]1 - А&1 + Аг--3 + ^3?3 = А>
где вектор ? = (^, С2, С3) есть векторное произведение векторов 5 и tj.
При выводе уравнений (10) мы не пользовались тем, что представление Тд
унитарно. Выясним, какие требования на Ак накладывает унитарность
представления. Полагая в формуле (3) %2 = ?3 = 0, мы получим:
Т&, 0, 0) = ? + ?1Л1+... (30
Так как матрицы Т унитарны, то
T*(Elf 0, 0)T(Klt 0, 0) = Е.
Подставляя сюда вместо Т его значение из (30. мы получим:
(Е -ф- А\ -ф- . . .) (Е -j- \уАу -j- . . .) - Е.
Сравнивая коэффициенты при первой степени ?, мы видим, что j4i + ^4i = 0,
т. е. А1 - -Ау *).
Полагая H1 = iAi, имеем:
Н\ = Ни
т. е. Ну-эрмитова матрица. Аналогично (полагая Hk = iAk) вводим эрмитовы
матрицы Н2 и Ну **). Из соотношений коммутации (10) следуют аналогичные
соотношения для Ну, Н2, Н3:
[Ну, Н2] - г'Я3, )
[Н2, H3] = LHy, [ (100
[Я3, Hy] = iH2. J
*) То обстоятельство, что операторы Ак задаются в некотором базисе
косозрмитовыми матрицами, является следствием соотношений коммутации
между ними и может быть установлено непосредственно. Эту несколько
громоздкую проверку мы предоставляем читателю в качестве упражнения.
**) Заметим, что, обратно, из зрмитовости Нк в силу формулы (6)
у. _. gi {U-
¦следует унитарность Тд.
28
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Итак, задача отыскания всех возможных представлений группьв вращений
сведена нами к следующим двум задачам:
1) найти всевозможные тройки эрмитовых матриц Я*, для которых имеют место
перестановочные соотношения (10'),
2) отобрать среди этих троек те, которые действительнее порождены
некоторым представлением группы вращений.
Вторая задача решается двумя различными способами в §§ 6 и 7~ Из
результатов этих параграфов следует, что любые три косоэрмитовы матрицы,
удовлетворяющие соотношениям (10), являются матрицами бесконечно малых
поворотов вокруг осей координат нрк некотором представлении группы
вращений. Таким образом, мы приходим к выводу, что по любым трем
эрмитовым матрицам, удовлетворяющим соотношениям (10'), можно с помощью
формулы
Т = е* №5i+H,Es+H,?.) в
построить представление группы вращений.
3. Вид неприводимого представления. Вместо определения матриц Hv Я2,
Я3 нам удобнее будет искать их линейные комбинацию
и _ - я,-/я2, я3 = я3.
Легко подсчитать, чему должны равняться коммутаторы этих трех матриц:
[Н+, Я3] = [Hj + Шг, Я3] = [Ни Я3] +1 [Я2, Я31 - =
= - гя2-я1= - я+.
Аналогично вычислим [Я_, Я3] и [Я+, Я_]. В результате получи" формулы
[Я+, Я3] = -Я+, 1
[Я_, Я3] = Я_, j (И)
[Я+, Я_] = 2Я3. )
Кроме того, имеем:
Н\ = (Я1 + /Я2)* - Нг - /Я2 = Я_. (12>
Итак, задача сведена к определению матриц Я+, Я_ и Я3, удовлетворяющих
условиям (11) и (12). Мы вычислим эти матрицы в базисе,, состоящем из
собственных векторов матрицы Я3. В этом базисе матрицы Я+, Я_, Я3
выглядят наиболее просто. Докажем предварительно следующую лемму.
Лемма. Пусть f-собственный вектор преобразования Н^ соответствующий
собственному значению X;
Я,/ = ХЛ
Л. 3J § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 29
Тогда вектор Д = Я+/ либо равен нулю, либо также есть собственный вектор
Я3, соответствующий собственному значению ¦М-1. Аналогично вектор /2 =
Я_/-или нуль, или собственный лектор Я3, соответствующий собственному
значению X-1.
В самом деле,,
HJX = Я3Я+/ = [Я3, Я+] / + Я+Я3/ =
= я+/+ я+х/=(X + 1) Я+/ = (X + 1 )Л.
Аналогично получим, что Я3/2 -(X-1 )/2.
Перейдем к определению матриц Я+, Я_, Я3.
Так как Я3 - эрмитова матрица, то ее собственные значения .действительны.
Обозначим через I наибольшее собственное значение матрицы Я3 и через /г -
какой-нибудь отвечающий ему нормирован-.ный собственный вектор:
ад = //г. (/г> /г) - !•
"Если H_fi ф 0,, то положим:
н-fi - o-iii-v
•где число я/ > 0 подберем так, чтобы имело место равенство i(fi_ 1,
1. В силу леммы /г-1 есть нормированный собственный
лектор Я3, отвечающий собственному значению I- 1. Если ф О,
то аналогично вводим /{_2, положив
где а1_1 > 0 и (/г_2, /г_2)=1. Продолжая этот процесс, вводим:
