Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
инвариантное интегрирование. Инвариантный интеграл для функции
/(?•)=/(<рх> 0, ср2) есть интеграл *)
по <рх, 0, ср2 с "весовым множителем" /(<рх, 0, <р2), выбранным так,
чтобы выполнялось равенство
Таким образом, инвариантный интеграл функции /(g) не изменится, если
заменить аргумент g на gg0, т. е. "сдвинуть" функцию /(g).
COS tpx COS !f2 - COS 0 Sin <fx sin <f2, = Sin <px COS tp2 -f- COS 0 COS
<fx sin <p2, sin tgn sin 0,
- COS tfx sin tp2 - cos 0 sin cpx cos <fs -sin <px sin 9, -)- cos 0 cos
fx cos cos tf2 sin 0
sin tfx sin 0 cos <fx sin 0 _ (9)
cos 0
J f(g)dg = f /(<Pi, 0, <p2)/(?i> 6. ?2 )d?i dS d<?2
f f (ggo) dg = f / (g) dg.
(10)
*) Мы будем иногда писать:
dg = I rf<fxrf0 d<fi-
п. 3] § 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 13
Можно было бы доказать, что весовой множитель определяется условием
инвариантности (10) однозначно с точностью до постоянного множителя. Этот
множитель мы выберем из условия, чтобы интеграл функции /(g) = 1 равнялся
1, т. е.
fdg-
1.
Вместо углов Эйлера мы могли бы при определении инвариантного
интегрирования рассмотреть любые параметры, определяющие вращение. Однако
углы Эйлера удобнее всего для определения инвариантного интегрирования,
т. е. "весового множителя".
Рассмотрим вращение g, задаваемое углами срь 0, <р2. Обозначим через Р
точку на единичной сфере, которая в результате этого вращения переходит в
северный полюс сферы (т. е. в точку пересечения с осью Oz). Через Q
обозначим точку на этой же сфере, которая после вращения g попадает на
ось Ох. Ясно, что вращение g полностью определяется заданием точек Р и Q.
При этом точка Р может быть произвольной, а точка Q лежит на'большом
круге, плоскость которого перпендикулярна к радиусу ОР.
Элементы третьей строки матрицы (9) представ- Рис. 2.
ляют собой декартовы координаты точки Р.
Отсюда видно, что ее сферические координаты равны у-срх и 0.
Если g0 - какое-нибудь другое вращение и g-ggo, то точки Р и Q,
отвечающие вращению g, получаются из точек Р и Q поворотом g0-1>
Покажем, что инвариантное интегрирование задается формулой
2я л 2л
f f(g)dg=f ff/Cfi, в, ?2) sind d^dOd^,
0 0 0
т. e. покажем, что при таком определении интеграла
/ f{g)dg= J /(gg0) dg.
Обозначим через cpj, 0, ср2 эйлеровы углы вращения g. Покажем, что имеет
место формула
sin 0 db d'.p2 = sin 0 db dy2>
или символически
dg = dg.
Выражение sin 0 dd dy2 имеет простой геометрический смысл.
Действительно, sin 0rfy1d0 есть элемент площади поверхности
14
ГЛ. 1 . ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
единичной сферы в точке Р. Что касается dcp2> то это есть элемент дуги
большого круга, на котором лежит Q. В самом деле, если изменить угол <р2
на d<f2 при неизменных и 0 (т. е. фиксированном положении точки Р), то
это сведется к дополнительному повороту на flfcpa вокруг точки Р, т. е.
сдвигу точки Q на dy2. Как было указано выше, замена' g на g = ggo
сводится к повороту пзры Р, Q с помощью g0. Но при вращении ни элемент
площади, ни элемент дуги не меняются, поэтому мы имеем:
Но последнее вытекает из того, что по доказанному dg - dg.
Если мы введем дополнительное требование нормировки, т. е
2л % 2п
4. Связь группы вращений с группой унитарных матриц второго порядка. В
этом пункте мы покажем, что вращения трехмерного пространства можно
описывать комплексными матрицами второго порядка. Для этого рассмотрим
стереографическую проекцию сферы на плоскость, состоящую, как известно, в
том, что кавдой точке Р сферы относится точка М в плоскости, лежащая на
луче О'Р (O'-северный полюс). Каждое вращение трехмерного пространства
вокруг центра сферы переводит друг в друга точки сферы и порождает тем
самым некоторое преобразование в плоскости. Нашей задачей сейчас будет
более подробное рассмотрение таких преобразований.
Будем рассматривать сферу диаметра 1. Из сравнения подобных треугольников
(рис. 3) легко получается связь между координатами х, у, z точки Р сферы
и координатами ?, точки М плоскости: \ - ~y~~-> '0 = -. Удобно ввести
комплексное пе-
sin 0 df1 db flfcp2 = sin 0 dyx dQ d<.p2.
Нам надо доказать равенство
J / Cg) dg - jf(g)dg,
или, что все равно, равенство
/ f(g)dg=j f(g) dg-
потребуем, чтобы
то, так как
ff(g)dg= g^2 J f f f(?i, 0. cp2) sin 6 t/0 cf<p2. (11)
0 0 0
п. 4]
§ 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
15
ременное С - \-\-it\. Тогда
(12)
Так как на сфере х2-\-у2 -
ХЪ + уЪ
z2, то можно также написать:
4 + *
(х - 1у)
X - iy
(12')
Найдем преобразование плоскости, отвечающее вращению на угол <р вокруг
оси Oz. Мы имеем:
х' = х cos ср -у sin ср,
у' - х sin ср -\-у COS ср,
z' =z.
Отсюда
rt х' + 1У' е (x + iy) = pifr
¦ j - l
2 Z
т. е. такому вращению отвечает преобразование плоскости
н - ei?l.
(13)
Рассмотрим теперь вращение на угол 0 вокруг оси Ох. Аналогично
предыдущему при таком вращении выражение
w
_ у ¦
-2~Х
умножается на еге, т. е.
w' - e^w. (14
Нам осталось выразить w через С (и соответственно w' через Zf).
Рассмотрим выражение
