Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 12

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 132 >> Следующая

Напомним, что матрицы Тд, отвечающие при этом представлении произвольному
вращению g, определяются по матрицам Ак с помощью формулы (6) настоящего
параграфа.
Мы нашли вид представления Тд в предположении, что оно существует. Тот
факт, что матрицы Тд, восстановленные формулой (6) по матрицам Ак,
определенным формулами (19), действительно образуют представление,
непосредственно проверить затруднительно. Мы покажем это впоследствии
тем, что фактически построим для каждого I соответствующее ему
неприводимое представление. А именно, в §§ 2,3 такие представления
будутпостроены для любого целого/, а в §§ 6, 7 - для всех целых и
полуцелых значений I. Сейчас мы покажем •только, что если существует
представление, определенное формулой (6), где Ак имеют вид (19), то оно
неприводимо. Действительно, допустим, что существует подпространство Rv
инвариантное относительно Н+, Н_ и #3 и не совпадающее со всем 21 -|- 1-
мерным пространством. Рассмотрим преобразование Н3 в этом пространстве.
i
У этого преобразования существует собственный вектор h = 2 cmfm'
m = -l
•отвечающий наибольшему собственному значению Н3 в подпространстве Rv Из
леммы на стр. 28 следует, что преобразование Н+ переводит вектор,
отвечающий наибольшему собственному значению Н3, .в нуль. По формулам
(18) имеем, следовательно,
г г
H+h = CmH+fm '¦- CmP-m+lfm+l '== О-
m=-l m=-l
Так как векторы fm линейно независимы, то коэффициенты при всех fm должны
быть равны нулю. При m < / am+i Ф 0 и, следовательно, ют = 0. Значит, h =
сг/г, т. е. Rx содержит /г. Но если подпространство Rt содержит вектор
/г, то оно содержит H_fi, H2_fl hi т. д., т. е. fi_v fi_z, . .., /_г.
Поэтому Rx совпадает с R.
П. 4] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 33
Мы доказали, что не существует отличного от нуля и R
подпространства, инвариантного относительно Н+, Н_ и Н3, т.
е. относи-
тельно Av А2 и А3. Но отсюда следует, что не существует отличного от нуля
и R подпространства, инвариантного относительно всех Тд, так как в
противном случае оно было бы инвариантно и относи-
, dT (St, U $,) .
тельно всех Аъ = -• А эго значит, что предста-
Я* ",=$,=",=<>
вление g -> Тд неприводимо.
Заметим, что из нашего доказательства следует такое полезное для
дальнейшего утверждение: в пространстве R, в котором действует
неприводимое представление Тд, существует с точностью до множителя только
один вектор /, такой, что H+f= 0.
4. Разложение представления на неприводимые. Рассмотрим теперь
приводимое представление группы вращений. Почти все рассуждения,
проведенные в предыдущем пункте, не основывались на неприводимости
представления. Неприводимость была использована лишь в самом конце, а
именно, когда мы доказывали, что построенная система векторов fm (т - -I,
-I-)- 1, ..., I) является базисом в пространстве R. Если не предполагать,
что представление неприводимо, то из наших рассуждений следует, что
построенная система векторов будет базисом лишь некоторого инвариантного
подпространства R0. Рассмотрим ортогональное дополнение R' к этому
подпространству, т. е. совокупность векторов, ортогональных к /г, /г-1>
•••> f-v Так как преобразования Нк самосопряженны, то R, как
подпространство, ортогональное к инвариантному подпространству R0, также
инвариантно относительно Hv Н2, Н3. Мы можем теперь в инвариантном
подпространстве R' повторить те же рассуждения, т. е. выбрать наибольшее
собственное значение преобразования Н3 в этом подпространстве, затем по
соответствующему собственному вектору f'lt построить снова цепочку
векторов /т (-потом снова взять ортогональное дополнение и т. д., пока не
будет исчерпано все пространство R. Итак, окончательно мы приходим к
следующему выводу.
Пусть задано некоторое унитарное представление группы вращений. Тогда
существует ортогональный нормированный базис" в котором матрицы Ak - iHk
имеют следующий вид:
34
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ч.
где А^\ А3\ А3] - матрицы, определенные по формулам (19) предыдущего
пункта при I = а именно.
A[i) = - -
0 a-lj+1 0 .. 0 0
a-lj +1 0 a-l^+2 • .. 0 0
0 a-lj+ 2 0 .. 0 0
0 0 0 . 0 аь
0 0 0 • %• 0
4° = -
Aij) =
0 a-ij+1 0 0 0
- a-lj+1 0 a ~h'+2 0 0
1 0 - 0 0 0
2 >
0 0 0 0 %¦
0 0 0 0
ilj 0 0 0 0
0 l(lj- 1) 0 0 0
0 0 i (Ij 2) ... 0 0
0 0 0 . • . 1) 0
0 0 0 ... 0 -11 i
(21)
("m - VVj- m + !))•
Сделаем несколько замечаний, позволяющих обычно найти, на какие именно
неприводимые представления разлагается данное представление группы
вращений. Для этого рассмотрим преобразование Н+. Легко
видеть, что каждый вектор /, для которого H+f= 0, имеет вид
afi + а'/г1 + • • • (22)
В частности, такими векторами будут, конечно, и /г, /г , . . .
По-
следние характеризуются тем, что они являются собственными векторами для
Я3: H3fi - Ifi, H3fi% - Ijf^, ... Исходя из сказанного выше, мы можем
дать следующее правило для построения базиса, в котором матрицы Alt Аг,
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed