Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем к основным сферическим функциям. Подставляя выражение У? (0, ср)
из формулы (10) в уравнение (12), мы получим обыкновенное
дифференциальное уравнение для функции Р(tm) (0). Оно имеет вид
1 d I dFf\ Г да2 1 т
1Ш0ж (sin 6 -dfJ + L/(/+ Ц-шя] ^<e> = ° <13>
или после введения новой независимой переменной р. - cos 0 и замены F(tm)
(0) через Р(tm) (р) вид
[(1 -^*)/^'(!*)]'+ [/(/+!)_ 0. (130
П. 4] § 3. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 49
Таким образом, окончательно мы получаем, что основные сферические функции
имеют вид
Y? (0, <р) = -Д= etm*P? (cos 6), (14)
У 2я
где Р(tm) (р) удовлетворяет уравнению (IS'). В следующем пункте мы получим
явное выражение для Р(tm) (р.).
4. Явное выражение сферических функций. В этом пункте мы получим явное
выражение для основных сферических функций. В процессе рассуждения мы
одновременно получим, что для каждого целого I существует, и притом
только одно, инвариантное подпространство функций, в котором реализуется
представление веса I.
Чтобы найти канонический базис для неприводимого представления веса /,
мы, как и в § 2 (стр. 35), начнем с совместного решения уравнений
Я3 / = //,
Я+/=0,
т. е.' с отыскания Y\(6, <р) (собственного вектора Н3, отвечающего
наибольшему собственному значению).
вид
Первое из этих уравнений, как и в п. 3, дает, что у\{0, <р) имеет
Y\ (9. =
У 2.TZ
Подставляя эту функцию во второе уравнение и сократив на ег'(гч1)?! мы
получим следующее дифференциальное уравнение для F\ (0): dF) (0) 7
- I ctg (6) = 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
/1 (0) = С sin1 0. (15)
Отсюда видно, что среди собственных функций оператора Н3, соответствующих
собственному значению /, имеется, с точностью до множителя, всего одна
функция, удовлетворяющая уравнению H+f= 0. Следовательно, для каждого I
существует только одно неприводимое представление веса I, так как в
противном случае уравнение H+Y\ - 0 имело бы для какого-то / по меньшей
мере два линейно независимых решения вида еп?Ф (0).
Прежде чем перейти к нахождению Yf (0, <р) для т < /, следует
пронормировать уже найденную функцию F\ (0) = С sin* 0, т. е. подобрать
постоянную С так, чтобы выполнялось условие нормировки (11')
/I
/1(6) |2 sin0rf0 = 1.
о
50 ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. I
Вычисляя интеграл, находим:
1C
С2 J sin^e db - C2- 2- = l,
О
откуда
с=±^гУгЦ1Ут-
Обычно полагают:
С=(_"1)гж>/Г
Таким образом,
У] (0, (r))= - 1ГУЩ) eil? sin1 0 = -?= eilt sin10.
Y 2iz ¦ 2l ¦ l\ V 2 Y 2k
Найдем теперь остальные функции канонического базиса fm = - Yf ф, ср).
Для этого воспользуемся формулой H_fm = ада/т_1, где а.т = У(1-\~т)(1-т-
\- 1). Так как - -f-i ctg 0 ,
то
/ дУГ dY(tm)\ гП1,
? \""~d0 Hctg0 =ai""IT •
Подставив сюда У(tm) (0, ср) = (0) и сократив на Д__ б"-!)?,
У 2тс У 2тс
мы получим рекуррентную формулу для F(tm) (0)
dF^1 (0) йрт/й\
-OTCtg0P* (d)^amFi (0).
rf0
Как и раньше, положив cos0 = p и обозначив F(tm) (0) через РГ(р)> мы получим
соотношение
1 г~. у (dPi (р) Р Dm _т_1
^ ^ V-ф р1 О)) = ^р1 (р)- I16)
Так как Р|(р) нам известно, то эта формула дает возможность
последовательно определить Pf {р). Сделаем для этой цели подстановку
т
РГ(Р) = (1 - p2f7"m(p). (17)
Мы получим тогда из (16) соотношение, которое после сокращения
т-\
на (1-р,2) 2 примет простой вид
1 (him
П. 4] § 3. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 51
J
Из формулы (15) мы видим, что Р*(р) = С(1-р2)2- Значит, иг(р) = = С( 1-
р2)*. Отсюда по формуле (18)
С d( 1 - и-2)г , ч С d? (1 Р'2)^
"i-iiV-)-н rf|A . "г-2 ([*¦)- aiai_i dv?
С dl~m( 1-р2)г
•••. "я""?м..лв+1 rfp*-(tm)
Если подставить найденные значения ит(\а) в формулу (17), то получится
выражение
р 1 2ч1
Здесь m-l, I-1, / - 2, ... Заметим, что при - I-1, как и следовало
ожидать, мы получаем Р(tm) (р) = 0.
Заменим С и ат их значениями и внесем (- 1)г под знак производной.
Окончательно получим:
р(tm) ("\ л/~ и ~1~ тУ- -t/~_i_n Пг (-(оч
1 V (/ - /и)! Г 2 21-/!^ ^ dpl-m ' 0У'
гн
Рг (р), имеет вид
В частности, функция Р(r) (р), которую чаще обозначают просто через
" 2 2г-П V
Многочлен Рг (р) носит название нормированного многочлена Лежандра l-го
порядка, а функции Р(tm) (р) называются нормированными присоединенными
функциями Лежандра.
Итак, доказана следующая теорема: основные сферические функции l-го
порядка имеют вид
УГ (6,9)= -)= eimP? (cos 6),
У 2 тс
где Р(tm) (р) определяются формулой (19). Линейные комбинации функций Yi (6,
9) с данным I образуют (21 -f-1)-мерное пространство функций,
инвариантное относительно вращений сферы, в котором реализуется
неприводимое представление группы вращений с весом I.
В заключение этого пункта выведем рекуррентные соотношения Для
многочленов и функций Лежандра с одним и тем же /. Два рекуррентных
соотношения, в которые входят функции Р(tm)(р) и их первые производные,
содержатся в формулах преобразования основных сферических функций НУТ (в,
9)=ajnV,(tm)_1 (0, 9) и Я+КГ=ат+1УГ+1. Первая из этих формул была уже
