Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
а(0, ср) ==
М
da
1" = 0
Н0, <р) =
d'-f
da.
(5)
а -О J
Найдем теперь дифференциальный оператор Ах, отвечающий бесконечно малому
повороту вокруг оси Ох. Чтобы вычислить функ-
dd I dy
ции а(Ь, ср) и 6(0, ср), т. е.
da
da
при таком повороте, нам
удобнее сначала найти производную по а от декартовых коорди-Иат хх, х2,
х3 вектора х. Если g есть поворот на угол а вокруг оси Ох, то g~l есть
поворот на угол -а вокруг этой оси. Поэтому вектор х' = g~^x имеет
координаты x[ - xlt X2 = x2cosa-\-x3smct,
46 ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. I
х'3 =-л;? sin а-(-Хз cos а. Функции
имеют, следовательно, вид
а=0
=0. = *" pi =-х2. (6)
da Ч=о da 4=о da L=o
Продифференцировав по а равенства х1 = sin 0 cos ср, х2 - sin 0 sin ср,
х3 = cos 0, связывающие декартовы координаты со сферическими, и
воспользовавшись (6), мы при а=0 получим уравнения
а С/0 . . . ЙФ "
cos 0 cos ср - sin 0 Sin СО -Ь- = о,
\t 7 da ' da
cos 0 sin со ~ -4- sin 0 cos cp 4^ = cos 0,
'da 1 da
. u d% • о •
- sin о = - sin 0 sin cp,
из которых имеем:
dd d<e , 0
-- = Sin cp И -J1- =: Ctg 0 COS Ф.
da 7 da b 7
Подставляя найденные отсюда значения 4-1 и 4^ I в фор-
da 4=о da 4=о
мулу (5), мы находим, что Аг - дифференциальный оператор, определяемый
формулой
А = sin ср А + ctg'0 cos ср ~ . (7)
Оператор Аг, отвечающий бесконечно малому повороту вокруг
оси Оу, можно получить аналогичным подсчетом. Однако, заметив,
что замена ср на ср-у соответствует замене оси Оу на ось Ох,
мы
можем получить А2, заменив в формуле (7) ср на ср - Таким
образом,
Л2 = - coscp JL_fctg0sin<p4L. (8)
Дальнейшие вычисления нам придется проводить с преобразованиями Н+, Н_ и
Н3, введенными в § 2. Воспользовавшись выражениями для Аи А2, А3,
получим:
H+ = H1ArlH2 = iA1 - A2 = e^(J?+ictg^),
H_ = H1 - tHt = iAl + Aa = e-*'(-iL + lctgB-±), (9)
Н3 - iA3 = - I S- .
Off
П. 3] § 3. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 47
3. Дифференциальное уравнение сферических функций. Как
мы уже говорили, функции на сфере из инвариантного подпространства, в
котором действует неприводимое представление веса /, называются
сферическими функциями /-го порядка *). Функции, образующие канонический
базис в этом подпространстве (т. е. собственные векторы преобразования
Н3), называются основными сферическими функциями. Основные сферические
функции обозначаются обычно Y(tm) (0, <р), где т - номер базисного вектора,
т. е. соответствующее собственное значение Н3 (-/<^от^/). Таким образом,
каждая сферическая функция I-го порядка есть линейная комбинация 2/-)-1
основных сферических функций У/"(0, ср). Их явное выражение будет
получено в следующем пункте. Здесь мы выясним, как они зависят от <р, и
получим дифференциальное уравнение для сферических функций.
Функции Yf'ib, ср) являются собственными функциями Н3, отвечающими
собственному значению т. Воспользовавшись выражением (9) для Н3,
получаем:
и , т ,й N - . *Г? 7) vm /0 ч
Нз*1 (9, <р) = -* щ =mYi (0, ср).
Отсюда имеем:
К(tm) (6, ср) = eim(FT (6). (10)
Зависимость Y? от ср, таким образом, ясна. Как зависит от 0, мы исследуем
более подробно несколько позже.
Из формулы (10) видно, что мы можем получить таким путем функции,
однозначные на всей поверхности сферы лишь при целом I **). Таким
образом, неприводимые представления такого вида мы получим лишь при целом
весе /. Так как Y(tm) (в, ср) являются нормированными собственными функциями
преобразования Н3, то
2к тс
J f\ УГф> cp)|2sin0tf0tf<p- 1. (И)
о о
2я:
Ввиду того, что J | dcp = 2it, удобнее положить: о
У/"(0, cp) = -7L,ff(0)ei"itp. (КГ)
у 2тс
*) В п. 4 будет показано, что для каждого веса I существует в точности
одно такое инвариантное подпространство.
**) При полуцелом I мы, выходя из точки (0, ср) и изменяя <р непрерывно
от ср до с" -f- 2я, пришли бы в ту же точку со значением функции,
противоположным по знаку.
48 ГЛ. 1 . ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 1ч. I
При этом условие (11) нормировки перепишется в виде
71
j,|/?r(0)|2sin0d0=l. (110
о
Перейдем к выводу дифференциальных уравнений для сферических функций и
для функций F(tm)(6). Как было показано в § 2, векторы, преобразованиями
которых реализуется неприводимое представление с данным весом I,
удовлетворяют уравнению
где Я2 = Я!2+Я2 + Яз-
Найдем явный вид этого уравнения в нашем случае. Для этого
•> 2 1
заметим, что #(-(- Нг - (Н+Н_ -\-Н_Н+). Подставляя Н+ и Н_ из
формулы (9), мы найдем, что
н*+н*=-т-ctgo^-ctg^^.
9
Добавив к этому выражению Нз~ - мы после простых преобразований получим:
U9 1 ^ / . д д \ . 1 д2
sirTfj db \sin wj sin2! df2'
Таким образом, уравнение [-1) Д]/=0 имеет в нашем случае вид
+ + 1)/= 0. (12)
sin 0 дв \ дв) 1 sin2 0 df2 1 v 1 'J к '
Это уравнение называется уравнением сферических функций 1-го порядка.
Число линейно независимых решений этого уравнения (нас интересуют,
естественно, только решения непрерывные и дифференцируемые на всей сфере)
должно быть кратно Из результа-
тов п. 4 будет следовать, что число решений в точности равно 211.
