Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 20

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 132 >> Следующая

Пусть R1-/7-мерное евклидово пространство с ортогональным и нормированным
базисом elt е2, ¦ ¦ ., ер, а Я2 - ^-мерное евклидово пространство с
ортогональным и нормированным базисом fv /2, . . ., fQ. Рассмотрим
всевозможные пары ejk. Их линейные комбинации с произвольными
коэффициентами
k = q i = p
h =, 21 иц:с^k
i,k-1
мы будем считать векторами нового пространства R. Так построенное
пространство R называется произведением пространств Rt и R% и
обозначается Rt X Rz- Таким образом, вектор h пространства R задается pq
числами
"" ("'=1.2, . . ., р\ k=\, 2, . .., q),
т. е. это пространство имеет размерность pq. Если взять произвольный
элемент е = 2 I4е i из 11 произвольный элемент / = 2 Wfc
г к
из R2, то под ef мы будем понимать элемент пространства Rt X Rz> равный
2lV-fteiA-
i, к
П. 1] § 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 55
Определим скалярное произведение двух векторов h' = 2 a\kf\ек
i, к
и h" = 2 a'ikeJii пространства R = Rty( R2 формулой
(!)
i, А;
т. е. будем считать базис е^к пространства R = R1X R2 ортогональным и
нормированным. •*
Аналогично можно определить произведение трех, четырех и т. д.
пространств.
В дальнейшем мы часто будем встречаться с произведением трехмерного
пространства самого на себя. Каждый его элемент задается системой девяти
чисел aik (/, к - 1, 2, 3).
Произведение трех трехмерных пространств есть 27-мерное пространство,
каждый элемент которого задается системой чисел
(r)ikl (А I - П 5).
Аналогично произведение г трехмерных пространств задается системой Зг
чисел
0*1> А' А' ¦ ¦ А- П ^)*
Перейдем теперь к определению произведения представлений. Пусть нам даны
два представления трехмерной группы вращений: представление матрицами U
д, действующее в /7-мерном пространстве Rv и представление матрицами Vд,
действующее в ^-мерном пространстве R2. Рассмотрим произведение
пространств Rx и R2. По представлениям, действующим в R1 и R2
соответственно, мы можем построить некоторое новое представление,
действующее в R. А именно, так как при вращении g векторы пространства Rt
переходят в Ug^i, а векторы fk пространства R2- в векторы Vgfk, то мы
определим преобразование Тд в пространстве Rx X отвечающее вращению g,
формулой
Тде ifк - U дв^У gfk. (2)
Так как векторы е^к образуют базис в пространстве Rx X R2< то' задав
Тде^к, мы тем самым определили линейное преобразование Тд для всех
элементов из R. Легко выписать матрицу этого преобразования.
Действительно, если при представлении в пространстве RL вращению g
отвечает матрица Ug = ^usi\\, т. е.
р
^== usi^s' s=l
а при представлении в пространстве R2-матрица Vg = \\vrk\\, т. е.
56
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
то по определению преобразования Тд
р я.
=: 2 2 usi^rkesfr-8=1 r = 1
Отсюда следует, что произвольный элемент пространства Rt X #2> имеющий в
базисе е^к координаты aik, переходит при преобразовании в элемент с
координатами а' - 2 asivrkaik•
г, к
Исходя из формулы (2), легко проверить, что так определенные
преобразования Тд образуют в пространстве R представление трехмерной
группы вращений, т. е. что произведению вращений gt и g2 отвечает
произведение преобразований Та, и Тд,
Итак, произведением представлений g->Ug и g->Vg, действующих в
пространствах Rt и R2 соответственно, называется представление g-> Тд,
действующее в пространстве R~Rl X ^2-При этом, если матрица Ug в базисе
ei есть ||nsij|, а матрица Vg в базисе fk есть ||wrft||, то вектор h из
R± X R2, имеющий в базисе eifk компоненты aik, преобразуется при вращении
g в вектор h'-Tgh, компоненты которого определяются по формулам
р я
Usг г- 2 2 ^si^rkaik- (3)
i = 1 k = 1
Аналогично можно определить произведение любого числа представлений.
Отметим, что полученному результату можно придать также следующую
формулировку. Каждому элементу A = 2ai*ei/* произведения пространств
поставим в соответствие матрицу Ца^Ц
с р строками и q столбцами, составленную из его координат. Эту матрицу
также будем обозначать через /г: h = \\aik\\. Тогда фор-
мула (3), определяющая преобразование h->Tgh, может быть записана в виде
Tgh = UghVg, (30
rp
где Vg - транспонированная матрица Vg.
Покажем теперь, что произведение унитарных представлений U.g и Vg также
унитарно. Для этого заметим раньше, что в силу определения скалярного
произведения в произведении пространств (формула (1)) мы имеем:
(ef, e'f') = (e, е') (/./')•
Для того чтобы доказать, что Тд унитарно, достаточно показать, что Тд
переводит ортогональный нормированный базис е,/* снова в ортогональный
нормированный базис. Но это ясно. Действительно,
{Ja*ifk> T^i'fv) = {U^tVgfk, UgevVgfw) =
= (Ugei, Uger)(Vgfk, -• $кк'>
п. 1]
§ 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
57
т. е. Т ег/к есть ортогональный нормированный базис, и унитарность Тд
доказана.
Рассмотрим важный пример. Простейшим представлением группы трехмерных
вращений является тождественное представление в трехмерном пространстве,
при котором каждому вращению g отвечает матрица этого вращения gr =
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed