Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
А3 имеют вид (20), или, как мы будем говорить, для разложения
представления на неприводимые: ищем все решения уравнения H+f= 0.
Совокупность всех этих решений инвариантна относительно Н3. Рассмотрим
преобразование Н3 в под-
П, 4] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 35
пространстве векторов /, для которых Я+/=0, и найдем полную ортогональную
и нормированную систему его собственных векторов.
По каждому из этих векторов, например /г , строится часть базиса,
отвечающая отдельному инвариантному подпространству, т. е. векторы H_fh,
я2_/г;...........я:%.
Из предыдущего можно сделать следующий вывод: если задано некоторое
представление, то при его разложении на неприводимые встретятся
представления с теми I, для которых существует совместное решение
уравнений
HJ= 0, Я3/ ~ If. (23)
Представление с этим I встретится в разложении столько раз, сколько есть
линейно независимых решений у уравнений (23).
Заметим еще, что если при разложении представления на неприводимые
представления с данным L встречается более одного раза, то разложение
неоднозначно. Действительно, при построении соответствующей цепочки
базиса мы начинали с ортогональной нормированной системы векторов, для
которых H+f= О, H3f - lf. Но если одно и то же I встречается несколько
раз, то отсюда следует, что в подпространстве векторов /, для которых Я+/
= О, Н3 имеет кратные собственные значения и, следовательно, такой базис
можно выбрать неоднозначно.
Мы укажем сейчас другой способ разложения на инвариантные
подпространства. При этом способе представление в каждом из инвариантных
подпространств или неприводимо, или кратно неприво-| димому, т. е. может
быть разложено на неприводимые представления с одним и тем же весом. В
отличие от разложения на неприводимые представления такое разложение
существует только одно.
Чтобы осуществить это разложение, рассмотрим преобразование
Я2 = Я? + Яг 4-Яд. (24)
Преобразование Я2 перестановочно с преобразованиями Hv Я2, Я3, т. е.
имеют место равенства
[Я2, Ht] = О, [Я2, Я2] = О, [Я2, Я3] = 0.
Вычислим, например, [Я2, Н3]:
[Hi, Яз] = н\н3 - Н3Н\ = Я?Яз - Я1Я3Я1 -1- НХН3НХ - Я3Я? =
= Я1[Я1, я3] Н- [Hv Н3]Н1 = - 1НхНг - iH2Hv Аналогично
[я22, Я3] = Я2 [Я2, Я3] + [Я2, Я3]Я2 = /Я2Я1 + /Я1Я2 и, очевидно,
[Hi Я3] = 0.
36 ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. I
Складывая эти равенства, имеем:
[н\+н\+н1 #з] = [Я2, Я3] = 0.
Точно так же доказывается, что
[Я2, Н,\ = 0, [Я2, Я2] = 0.
В случае неприводимого представления, когда Hv Н2, Я3 определяются по
формулам (19), непосредственным вычислением убеждаемся, что
Я2 = /(/+1)Я,
где I - число, определяющее представление. Чтобы произвести это
вычисление, полезно заметить, что
я+я_ = (Я, -|- iH2) (Н1 - 1Н2) =
= н\ 4- я;+i (Н2иг-ягя2) = н\+н\4-я3,
откуда
Я2 - Я+Я_ - Я3 -j- Яз.
По формулам (18) находим:
Н+Н-fт == Н+a-mfm~l == т>
== ffl-fт' n\fm = m2fm.
Так как <хт- т + тг - I (/+ 1), то отсюда имеем:
№fm = l(l+ 1 )/"*).
Мы видим, таким образом, что все векторы / пространства R,
преобразующиеся по неприводимому представлению с данным I, удовлетворяют
уравнению
Я2/=Я(/+1)/. (25)
Отсюда следует, что число линейно независимых решений этого уравнения
кратно 2/-)-1.
С помощью преобразования Н2 мы можем разложить произвольное представление
на представления, кратные неприводимым. Это
*) Тот факт, что для неприводимого представления Я2 = аЕ, где а - число,
можно было бы вывести из перестановочности Я2 со всеми Я#. Значение
постоянной а легко найти, применив обе части равенства Я2 = аЕ к вектору
/-?•
п. 5] § 2. ОТЫСКАНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 37
значит, что мы можем выбрать в пространстве R базис, состоящий из
отдельных групп векторов, таких, что, во-первых, каждая группа порождает
инвариантное подпространство и, во-вторых, представление в этом
подпространстве или неприводимо, илй кратно неприводимому. Очевидно,
чтобы получить разложение на представления, кратные неприводимым, нужно
для каждого I найти полную систему линейно независимых решений уравнения
(25). Совокупность всех этих систем решений даст базис, в котором
представление разлагается на кратные неприводимым. Как мы уже упоминали,
в отличие от разложения на неприводимые представления такое разложение
всегда однозначно.
5. Примеры представлений. Рассмотрим в заключение несколько примеров
неприводимых представлений группы вращений.
Положим I - 0. В этом случае представление одномерно и матрицы Тд суть
числа. Очевидно, что мы получим такое представление, если положим Тд = 1
(единичное представление). Матрицы Ак будут в этом случае нулями, что,
впрочем, видно и из формул (19).
Положим 1=1. Тогда 21 -(-1=3, т. е. мы должны получить представление
группы вращений преобразованиями в трехмерном пространстве. Мы получим
такое представление, поставив каждому вращению в соответствие матрицу
этого вращения (основное представление). Так как всякая ортогональная
матрица, если ее рассматривать как матрицу преобразования в комплексном
