Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
или полуцелые), определяющие представление.
ДОПОЛНЕНИЯ
359
В случае п- 2&+1 схема а имеет вид
"*24- 1, 1 "*24 - 1, 2............................"*24- 1, к
"*24-2, 1......................"*24-2, к-1
"*24- 3, 1
"*24-3, к-1
"*41
"*31
"40
"*21 "*11
а числа подчинены условиям
**1 ^ "*24-1 ^ **2 "*24-1, 2 ^ **4 ^ "*24-1, 4 **4>
"*24-1, 1 -г^ "*24-2, 1 "*24-1, 2 5^ ¦ • • ^ "*24-2, 4-1
I "*24-1, 4 I
(6)
и т. д. согласно неравенствам (5). Числа "!
пк - фикси-
рованные числа, задающие представление (одновременно целые или
полуцелые). Каждой такой схеме отнесем вектор 5(a) из пространства R, в
котором действует наше представление. Оказывается, что при этом векторы
5(a) образуют базис в пространстве R. Мы напишем
формулы для операторов h
2р+1, 2р
И I.
2р+2, 2р+
t в базисе 5(a). Обо-
значим через 5+ (а^) вектор, соответствующий схеме, полученной из схемы а
заменой mrj на а через ?"("/) - вектор, схема
которого получается из схемы а заменой mrj на mrj-1 (предполагается, что
в обоих случаях мы приходим к схемам, удовлетворяющим условиям (5) или
(6)).
Формулы для операторов /2p+i р и /2р+2, 2р+1 имеют вид
р .
^2р + 1, 2рс- (а) = 2 ^ ("*2р-1, j) '+ ((r)2p-l) 2 А ("*2р_1, j_l) ?
(a2p-l)>
J = 1
^2р+г, гр+i'L(a) - 2 В {тщ j) 5+ (alp)-2 & ("*2р, j-i) -- (a2p)-Н*'С2р5
(a). .7 = 1
Напишем выражение для коэффициентов А, В и С.
Обозначим
"*2р-1, р *2р-1, р "*2р -1, р-\ -
= h
2р - 1, Р-1'
/Я
2р, р
-4-1 = /
Цр, р>
/я.
2р, Р-1
2р, Р-1'
"*2р-1, 1 + /* 1 ^2р-1" "*2р, 1 + /7 ^2р, 1'
При этом числа, определяющие представление, а именно .............."4+1
при четном я -2А-)-2 и ................ яй при нечетном я = 2&-4-1>
обозначаются в этих равенствах соответственно через "*24+i, i> "*24+1, 2>
•••> "*24 + 1,4+1 И "*2р, 1, "*24, ."*24, 4'
360 ДОПОЛНЕНИЯ
В этих обозначениях А, В и С запишутся
V"
X
г?-1 ]
== I 11(^2р-2, Г ^2р-1, j 1) {^2р-2, г "t-Jzp-l, j) J
X j^II 2 ^2p-l, j (^2p, r "4" ^2p-l, j)^
X {Ц(^2р-i,r - &p-i, j)\l\p-s.,r - (hp-\,j~{- О2]}
| 72
x
в (m2Pi j) =
P p+t
П (l2p-l,r - l2p, j) П {l\p+l,r"~l\p. 1) ______r =
l________________________r = l____________________________
hp, j {^l2p, j 0 | \ \l2p, r l2p, j] [(Лр, r l) l2p, j\
гф)
P P+1
И hp-1, г Д hp+i, r P r = 1 r = l
U2 p - p
II l*P< r ^2p> 2 О
r = 1
II. Конечномерные представления группы невырожденных матриц "-го
порядка
Здесь мы приведем явные формулы, задающие инфинитезимальные операторы для
всех неприводимых конечномерных представлений группы всех невырожденных
линейных преобразований действительного я-мерного пространства. Эту
группу будем обозначать Ап.
Как всегда, начнем с построения однопараметрических подгрупп группы Ап,
для которых мы и будем находить инфинитезимальные операторы.
Рассмотрим подгруппу, состоящую из матриц вида
Ягк (t)=e-\- eiht (i ф k),
где е - единичная матрица, eik-матрица с единицей на пересечении г-й
строки и А-го столбца и с нулями на остальных местах, t - параметр.
Нетрудно проверить, что матрицы ) образуют подгруппу:
aik (^l) === (r)ik (^1 "f" ^2.)'
Очевидно, что всего в группе Ап существует п(п-1) таких под' групп.
ДОПОЛНЕНИЯ
361
Кроме того, есть еще п подгрупп диагональных матриц
10..............
0 1...
аи (0 =
е* 0 0 1
1 0 0 1
(е* стоит на /-м месте главной диагонали).
Можно показать, что любой элемент группы Ап представляется в виде
произведения элементов из однопараметрических подгрупп aik (t) O', k - 1,
2, . .., n).
Таким образом, чтобы задать представление группы Ап, достаточно задать
представление всех п2 однопараметрических подгрупп, или, что одно и то
же, задать для каждого представления инфините-зимальные операторы Iik,
соответствующие подгруппам alk(t).
Напишем соотношения коммутации между операторами Iik. Очевидно, они
совпадают с соотношениями коммутации для инфинитезимальных операторов
тождественного представления группы Ап: а-у а. Инфинитезимальными
операторами последнего служат матрицы eik, и их коммутаторы имеют вид
Аналогичные соотношения выполняются и для операторов Iik.
Мы приведем формулы, задающие операторы 11к для всех конечномерных
неприводимых представлений группы Ап.
Начнем с частных случев.
1. п = 2. Неприводимое конечномерное представление группы
невырожденных матриц 2-го порядка задается двумя целыми числами тх и т2
(гп1^-т2). В пространстве R, где действует такое представление, можно
выбрать базис из собственных векторов операторов 1п и /22. Эти векторы
можно занумеровать индексом q, пробегающим по одному разу все целые
значения в пределах m1^-q^.m2.
Операторы 1п, /22, h2, hi в базисе запишутся
И. п = 3. Каждое неприводимое представление этой группы задается
тремя целыми числами т1^-т2^-т3.
(1)
AiSe = ^g. h^q = (mx + rn2 - q)\q.
h?q = V{mi-q) (q-m 2+ O&g+i,
h?q = V(q - m2) (*i -? +1)^-1-
362 ДОПОЛНЕНИЯ
Рассмотрим теперь всевозможные тройки целых чисел
(V)-
удовлетворяющие условиям
Щ > Pi > Щ > Рг > "з-Рх>Я> Рг-
Оказывается, что в пространстве, где действует неприводимое представление
