Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
компоненты
т- Легко проверить, что в случае, когда каждая из
этих компонент встречается в представлении Тд более одного раза,
уравнение, а также и инвариантная форма будут распадающимися. Таким
образом, для нераспадающегося уравнения представление
g->Tg содержит лишь две зацепляющиеся компоненты "§)
и = -у, . Такое зацепление, как мы видели в § 9, при-
водит к уравнению Дирака. Для уравнения же Дирака форма (?0ф> ф) имеет
вид (см. (2) и (4) § 9)
(?оф. 40= 2 {|/i Г + l/i Г} > °- (14)
Итак, аз конечномерных уравнений (х ф 0) с матрицей L0, приводимой к
диагональному виду, только уравнение Дирака имеет положительный заряд.
3. Конечномерные уравнения с положительной энергией и матрицей Ц,
приводящейся к диагональному виду. Положительность энергии, как мы
видели, означает положительность формы
W = * 4'х) > о (15>
П. 3] §11. ЗАРЯД И ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ 347
для собственных векторов <j)x матрицы L0 с ненулевым собственным
значением.
В случае, если матрица L0 может быть приведена к диагональному виду, это
условие равносильно неотрицательной определенности формы
(?*!>, М0>0 (16)
для всех векторов ф. Это обстоятельство проверяется точно так же, как мы
это делали в предыдущем пункте для случая формы (7.0Ф> 40-В каноническом
базисе представления g-^Tg эта форма запишется так:
(Аоф, LS= 2 afcT'cf'*'yimyfm; (17)
1,1, т
здесь через т*' обозначены компоненты, зацепляющиеся с т*. Для того,
чтобы это выражение было неотрицательным, компоненты т и т*' должны
зацепляться, иначе форма (17) не содержала бы членов J ylm J2 и \yfmf, а
содержала бы только произведение ушУш и, следовательно, могла бы
принимать значения обоих знаков.
В конечномерном случае компоненты тих* зацепляются, лишь если
а) /о-1--^о^д1> т. е. 70 = 0, 1, -1,
и
б) /0 = 0, т. е. т - (О, Г) и -с*' - (О, I ± 1).
Таким образом, представление Тд содержит компоненты вида (1, 1Х), (- 1,
/х), (0, 1{), зацепляющиеся по схемам
а) (-1, Уч->(0, У<->(1, k)
и
б) (О, /х- 1)ч->(0, 1г).
Покажем, что в обоих случаях 1У - 2. Действительно, при > 2 каждая из
компонент (1, 1^), (-1, lt), (0, /г), (О, lx-1) содержала
бы более одного веса I и члены |уш!2 и \yil-\,mf входили бы в выражение
(17) с разными знаками (afli = - <Ч*\
Итак, представление Тд содержит только компоненты вида
т0~(0, 1), Tj - (0, 2), т2~(-1, 2), Х2 - (1, 2). Все они не могут
одновременно входить в одну схему зацепления
348
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
I 12
так как в этом случае в форме (17) коэффициент при |_уо°о| (равный aY')
Сол |2) и коэффициент при | у\т ]2 (равный af'\ cY'f) были бы разного
знака. Кроме того, в случае, если какая-нибудь из компонент входит в Т
более одного раза, то уравнение распадается. Таким образом, для
нераспадающегося уравнения возможны лишь две схемы зацепления:
а) (0, 2)ч->(0, 1)
и
б) (-1, 2)^(0, 2)"->(1, 2).
Первая из них приводит к уравнению Даффина (см. § 9) для частиц со спином
0, вторая - к уравнению Даффина для частиц со спином 1.
Форма (70ф, Z-оф) в каждом из случаев равна (см. § 9)
а) (1оф. A)+) = |.y5>P + Ubf>0
И
б) ^-оф) - 2 2 I Уш | Ч~2{|.Уп"| Ч- | Уип 1 -\-y\myim 4"
m m
Ч~УьпУш} 9,
т. е., действительно, энергия положительна.
Итак, из конечномерных уравнений с приводимой к диагональному виду
матрицей L0 только уравнения Даффина (для частиц со спином 1 = 0 или для
частиц со спином 1= 1) имеют положительную энергию.
Возможны, однако, конечномерные уравнения с положительной энергией, или
зарядом, у которых матрица L0 не приводится к диагональному виду.
Мы рассмотрим пример одного такого уравнения с положительным зарядом.
4. Уравнения с положительным зарядом и матрицей Lo, не приводящейся к
диагональному виду. Пусть представление Т , преобразующее компоненты
волновой функции, состоит из компонент
4), 4)> 4)>
зацепляющихся по схеме
I t ¦ (18)
Напомним, что с такой схемой мы уже встречались в § 9, п. 5, где и нашли
общий вид соответствующих этой^схеме инвариантных
п. 4]
§ 11. ЗАРЯД И ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
349
уравнений, получаемых из инвариантной функции Лагранжа. Матрица L0 таких
уравнений состоит из ящиков
а)
или
б)
О а Р О
а О О Р
Р ° ° I
° р I °
а р О О О р 1
- В 0 0
о
0 1
1 о
1=^ 1 2
0 1
1 о
(19)
а и р - вещественные числа, причем Р > 0.
Каждому из случаев а) и б) соответствуют разные инвариантные формы.
Выпишем их:
а) (фх, 4"2)= 2 \х'\ + х\ у[ 1 +
1 1 ( -*-т -от 2т 2 я)
'2' 2
+ 2 (- \)[1ЛХШУШ + ХъпуГт]',
I, т
б) (4"1, ф2) = - 2 !хх{ ух{ -\-хх{ у{ 1+-
1 1 I 2(tm) Тт -2т(
2' 2
(20)
+ 2 (~ l)m {xlkylm + xSnylh).
I, т
Заметим, что энергия W в обоих случаях не является положительно
определенной. Действительно, в состояниях и Ф* 2т>
соответствующих спину l - у, и собственным значениям ящика
0 1
1 ОГ
350 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ч. II
равным zh 1. энергия имеет разные знаки:
(Ф 3 , Ф 3 )= - (Ф 3 ,Ф3 ).
У 2 2~ w
Рассмотрим заряд. В случае а) матрица L0 приводится к диагональному виду
