Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 124

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 132 >> Следующая

подпространства инвариантны относительно оператора Н3 и собственные
значения этого оператора равны т= 1, -1. Значение поляризации т. - 0
исключено, поскольку линейная комбинация векторов ?х0, ?х0 может
принадлежать дефектному подпространству матрицы (21) лишь в случае, если
р3 = Ро = 0-Таким образом, поляризация фотона может принимать только
значения т=1, -1 или, как говорят физики, фотон всегда поляризован
поперечно.
8. Бесконечномерные уравнения. Формулы (13)-(16) § 2 для
бесконечномерных неприводимых представлений группы Лоренца (точнее, набор
значений I в этих формулах) показывают, что уравнения относительно
волновых функций ф, преобразующихся по бесконечномерному представлению,
будут, вообще говоря, описывать частицы, могущие находиться в состояниях
с любым целым или соответственно полуцелым спином, большим некоторого
наименьшего значения /о- При этом, если /0 - целое, то и спин принимает
целые значения, если 10 - полуцелое, то и спин - полуцелый.
Будем теперь предполагать, что представление Тд, по которому
преобразуются величины ф, распадается на конечное число неприводимых
представлений, среди которых есть и бесконечномерные. В этом случае все
342
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
матрицы || с"'!! будут матрицами конечного порядка, и их порядки,
очевидно, совпадут для всех I, за исключением, быть может, нескольких
самых нижних значений I. Из основных формул (15) и (16) § 7 следует, что
коэффициенты характеристических уравнений для матриц ||cJT || будут равны
квадратным корням из многочленов относительно I *).
Отсюда вытекает, что это уравнение в общем случае будет иметь корни,
неограниченно возрастающие по. абсолютной величине при лишь
в исключительном случае все коэффициенты характеристического уравнения
могут оказаться вовсе не зависящими от /, т. е. все собственные значения
матриц || ср || для всех /, кроме, быть может, нескольких самых нижних
значений, совпадут, Итак, бесконечномерным уравнениям такого типа будет
соответствовать спектр масс, либо стремящийся к нулю при /-> оо (общий
случай), либо же совпадающий для всех достаточно больших значений I
(исключительный случай).
Этот результат объясняет неудачу всех попыток построения релятивистски-
инвариантных уравнений с растущим спектром масс. Можно, правда, строить
уравнения с растущим спектром масс, используя бесконечное число
неприводимых представлений: добавляя для каждого спина I достаточное
число новых Гнеприводимых представлений с l$ = I, мы сможем, не меняя
состояний частицы со спином меньшим, чем /, добиться любых значений массы
для этого спина. Такое построение, однако, представляется достаточно
сложным; как правило, уравнения, для которых Тд распадается на
бесконечное число неприводимых представлений, также будут иметь падающий
спектр масс.
В рассмотренных в предыдущем параграфе примерах бесконечномерных
уравнений спектр масс в обоих случаях такой: спину I отвечает масса р.(r),
Спин в каждом из этих примеров принимает либо все целые, либо все
полуцелые значения.
§ 11. Заряд и энергия релятивистских частиц
В этом параграфе мы всюду будем предполагать, что реляти-вистски-
инвариантное уравнение, описывающее поле частицы ф, получено из некоторой
инвариантной функции Лагранжа. Это означает, как мы видели в § 8, что из
компонент волновой функции ф можно составить инвариантную невырожденную
эрмитову форму (фх, ф2) и матрицы Lv L2, L3, L0 релятивистски-
инвариантного уравнения удовлетворяют соотношению
(Мы 'Ы = (Ф1. Мг)
для всех ipj и ф2 или> чт0 одно и то же, эрмитова квадратичная форма
(Lk'b, ф) вещественна.
*) Можно показать, что на самом деле они будут всегда многочленами
относительно I.
**) Вообще говоря, собственные значения матриц || ср' || при /->- оо
будут возрастать как I (в смысле порядка роста).
п. 1] §11. ЗАРЯД И ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ 343
Кроме того, в этом параграфе мы рассматриваем только случай уравнений с х
Ф 0.
1. Определение заряда и энергии. С каждым уравнением, получаемым из
инвариантной функции Лагранжа, связан вектор с компонентами sk:
sk = (Li&, 'W *) (* = 0. 1, 2, 3). (1)
Вектор sk называется вектором тока **).
Последняя его компонента
*о=(А>'М) (2)
называется плотностью заряда. Полный заряд s равен
s = J s0d4x. (3)
Кроме вектора тока, с релятивистски-инвариантным уравнением связан тензор
энергии - импульса
П = 1т{ьк^, "!")"*>, (4)
компонента Т$ которого
(5)
задает плотность энергии W(x) - - Г(r).
Полная энергия поля ф(х) равна
Е = J W (х) сЕ х. (6)
Напомним, что в системе покоя частицы ее волновая функция может быть
представлена в виде плоской волны:
ф(х0, хи х2, x3) = ty(p0)e-l№\ (7)
где фС/^о)-собственный вектор матрицы L0 с ненулевым собственным
значением X:
PoLoty(Po) = *'1t(J'o)> Х = -^-
*) То обстоятельство, что четверка чисел sk образует вектор, т. е. при
преобразованиях Лоренца преобразуется так же, как и координаты Хо, х±,
х2, х3, доказано в § 8, п. 7.
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed