Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 125

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 132 >> Следующая

**) См.,например, В. Паули, Релятивистская теория элементарных частиц,
ИЛ, М., 1947, стр. 13 или А. И. АхиезериВ. Б. Берестецкий, Квантовая
электродинамика, Гостехиздат, М., 1953, стр. 393.
***) Шестнадцать компонент тензора 7^ преобразуются как произведение двух
векторов, т. е. по полному приводимому тензорному представлению второго
ранга (см. § 8, п. 7).
344
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
Плотность заряда для состояния (7) равна, очевидно,
*Ь = (?оФ(А))^^> Ф (Ро) = л (ф(р0), ф (р0)). (8)
Мы видим, что плотность заряда для состояния (7) не зависит от (х0, хх,
х2, xs). Плотность энергии для плоской волны (7) также не зависит от (х0,
xlt х2, xs) и равна
Сейчас мы разыщем конечномерные уравнения с х ф 0, для которых либо
плотность заряда s0 положительна для всех плоских волн (7), либо для всех
таких волн положительна плотность энергии, т. е., другими словами, для
всех собственных векторов ф(/?0) матрицы L0 с ненулевым вещественным
собственным значением X положительна либо форма (L0ty(p0), ф> (/?0) )>
ли(r)° форма (ф(/>о), <К/?о))-Мы будем предполагать с самого начала, что
все собственные значения матрицы L0 вещественны. Это ограничение разумно
еще и в том отношении, что собственному вектору ф* матрицы L0 с
комплексным собственным значением X (в предыдущем параграфе мы назвали
такие векторы недопустимыми) отвечают нулевые плотности заряда и энергии.
Действительно, если
и при этом s0-0 и W=0.
Оказывается, конечномерные уравнения (х Ф 0) с положительной плотностью
заряда или положительной плотностью энергии легко перечислить, если
предположить, что матрица L0 приводится к диагональному виду. Мы увидим,
что это - уравнения, уже известные
нам из § 9: уравнение Дирака для частиц со спинэм 1 = (положительный
заряд) и уравнения Даффина для частиц со спином О или 1 (положительная
энергия).
2. Конечномерные уравнения с положительным зарядом и матрицей L0,
приводящейся к диагональному виду. Положительность плотности заряда у0
означает, очевидно, что для всех собственных векторов матрицы Lo с
ненулевым собственным зна-
чением X
W=^(PoLo^(Pol f(Ai) ) = '''• CM Аз), б (р0) )¦
(9)
(Lo <h> ) ==x Oh. ) = \r( фх) - (фх. Ш-
Отсюда получаем, что, поскольку ХфХ,
(Фх> Фх) = 0,
(?о<К. Фх)>0.
(10)
П. 2] § 11. ЗАРЯД И ЭНЕРГИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ 345
Покажем, что если матрица L0 приводится к диагональному виду, то условие
(10) равносильно требованию, чтобы
(?0ф, Ф)>0
для всех векторов t из пространства R, т. е. чтобы форма (L0 t> t) была
неотрицательно определенной.
Действительно, у матрицы L0, приводящейся к диагональному виду, набор
всех ее линейно независимых собственных векторов образует базис в
пространстве R. При этом любой вектор ф из, R может быть разложен в сумму
t = Cl ti -f- C2 t2 + ¦ • ¦ "Ь Ck tfc + • • • >
где ti> • • ¦ > tfc> • • • - собственные векторы матрицы L0 с различными
собственными значениями Xt, Х2, . . ., Хй, . . . Заметим, что для двух
собственных векторов ф" и с различными собственными значениями
выполняется равенство,
(Mi. <№ = 0.
Это равенство получается так:
(М"> =
и
(Mi. Ы = (ф{. М&ММ+г. <Ы
(Кк, как мы предположили, вещественно).
Так как Х4 Ф Х^, то (ti, tfc) = 0 и (L0ti, ф,.) = 0. Вычислим теперь
значение формы (Щ, ф)
(М. 40 = 2 (М"> 4'&) = 21 Ci |2 (L0ti, ti).
iy к
В силу (L0ti, ti)^0 имеет место
(L0t, 4J)>°>
т. e. форма (L0t, t) неотрицательно определенна.
Итак, нам нужно найти конечномерные уравнения, для которых форма (L0t, 10
является неотрицательно определенной.
С помощью формул (15)-(16) § 7 и (20) § 8 форма (L0t, t) в базисе (М}>
каноническом для представления Т , которое преобразует компоненты
волновой функции, запишется так:
(Lot, t) = 2 at*cf yimytm, (11)
где числа aT* и сТ определяются формулами (15)-(16) из § 7 и (16)-
(17) из § 8. Напомним, что сТ ф0 лишь для зацепляющихся компонент, а аГ
ф 0 для компонент х - (/0, 7) и:' - (/", -7^, причем в конечномерном
случае вещественно и потому т* = т = (-10, IJ.
346 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Ч. II
Из выражения (11) видно, что если форма (?0ф, ф) неотрицательна, то
компоненты т и т* зацепляются; в противном случае форма не содержала бы
членов с \ypmf и |.Ув"|2> а содержала бы только произведения различных
координат yimyim. Такая форма, как легко видеть, может принимать значения
разных знаков. Конечномерные компоненты т и т* зацепляются лишь, когда /0
= -10-+-1.
т. е. /0 = ±у. Итак, представление Тд содержит неприводимые компоненты
только вида зацепляющиеся по схеме
(ф. 7.(,). (12)
Форма (Т0ф. Ф) приобретает при этом вид
(10ф, ф) = ^аГ'сГ'\ymf- (13)
Если теперь какая-нибудь пара зацепляющихся компонент содержит более
одного веса I ^т. е. 1Х > то члены \ylmf и \yi+i,mf входят в выражение
(13) с разными знаками (действительно, для конечномерных представлений ар
= - ар+ ь см. формулу (38) § 2, а ср и сР+ j имеют одинаковые знаки).
Следовательно, форма неотрицательна лишь, когда представление Тд содержит
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed