Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 131

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 >> Следующая

группы Л3, можно выбрать базис из собственных векторов инфинитезимальных
операторов /и, /22, /33 и каждому вектору этого
базиса отнести одну из троек ^ дальнейшем будем обо-
значать эти векторы
В базисе |? операторы /и, /22, Аг. Ак Аз> Аг> Аз запишутся:
Ai
5 (V2) = * (Р1 /*) ' ^ {Pl /*)=(л-9) 5 (V2) ¦
I 12е- (Л q = /(А-?) (?-- А "И) ? (^4-?) '
Ai^(ЛqР2) = /(jO - - А) 5(^_^*)>
/ t/A Рг\ _ ,/~("4-fi) (ws-^-l)(w3-ft-2)(/>i-g+l) s (Pl+l ps\
23 \ Я ) ' (Pt - Pi + 2) (px-A+l) ' Я )
I ЛГ (mi --Pt + 1)6"? --Pi) ("з -Рч - О (Pi - Я) tlPi A+l\
' (Px-а.+ 1)(а-Рг) \ q )'
\ / (m-i-A+l) (m2-Pi) ("з-Pi-1) (P\-q) t (Pi - 1 Pn\ ,
) V (Pi-Pt + l)(Pi-Pi) I q П
Аг--
Рг
\ЛГ ("t - p2 + 2) (w2 - p2 + 1) (тз - Pi) (ръ - g) t //?! Pz - 1\
(л-л + 2)(л-л + 1) \ q r
Аз?(Pl 9Рг) = ("i rn2 -f - OT3 - Pi - p2) ? (Pl
III. Перейдем к общему случаю.
Каждое конечномерное неприводимое представление группы Ап задается и
целыми числами: /и1^-от2^- ... ^¦тп_1^.тп. Рассмотрим всевозможные схемы
из целых чисел
т1, п-1 "2, п-1.................................""-1, "-1
"1, П-2 "2, П~ 2.............."га-2, П-2
"13 "23 "33
"12 "22 "11
ДОПОЛНЕНИЯ 303
где числа трд должны удовлетворять условиям
тР, 3 + 1 ^ mpq ^ mp + l, 3 + 1'
Числа же первой строки меняются в пределах
и-1> ••• n-i>mn
(где mv тг, т3 тп - числа, задающие представление). Оказывается, каждой
схеме а можно поставить в соответствие вектор ?(а) - собственный вектор
для операторов fti (i=l, ..., ft) из пространства R, где действует наше
неприводимое представление,и векторы |(а) образуют в R базис. Напишем
теперь вид операторов Iik в базисе {1(a)}. Достаточно задать операторы
/&_1 к, 1кк и /к к_t, так как остальные получаются коммутированием этих
операторов по формулам (1).
-f
Обозначим через a|_j к схему, которая получается из схемы a заменой mi
fe_1 на т. д._1 -1, а через a.ik_1 к - схему, получаемую из а заменой
/и,- к_х на - 1. В этих обозначениях опера-
торы 1к_1>к, 1кк, \ запишутся:
Л-1, к Л-1
2
i ~1
4-1, k5(a) = Se'_l
г = 1
4л^ (а) == 2 ^Чл 2 Л-1 ) ^ (а)>
\|' = 1 1=1 /
4, л-1"(") = 2 (**¦*-")¦
г = 1
где числа аг/с_1 к и &JL й._1 вычисляются по формулам
(2)
ai~i,k=
Н.к-1 =
(-1)
к
Я
7с - 1 г = 1
&--2
1)П (4 л-i-4', *-i -
i-1
JJ (4, л-i - 4* fc-i) (4 л-i - 4> *_t - ^
г Ф }
к Л-2
Ц (4 л - 4, л-х +1) JJ (4 л-s - 4. ft-1^
(- 1)
Л-11=1
г = 1
(( (4', л-i -Л, л-1 + 1) (4, л-1 - 4, л-i)
гфЗ
(3)
Формулами (2) и (3) представление определяется полностью.
Однако мы, тем не менее, впишем формулы для всех операторов Ipq (р < q)
364
ДОПОЛНЕНИЯ
каждого из индексов ша " , Щ а-
р ........ ц - 1*
t ... г
на 1. Числа а& q опре-
Здесь ар 9 1 означает схему, полученную из схемы а увеличением
V ¦ •г-pq
деляются по формуле
Ч~1
г1*
1к, /с+1
г ... г
а р т
ТТ
к=р
9-2 1'/. '
^ft+1' ft+1) fyk+l' &+1)
k = p
знак определяется числом инверсий в последовательности ip . . .
Аналогичными формулами задаются операторы Ipq при > д.
III. Замечание о двойственности между коэффициентами Клебша - Гордона и
полиномами Якоби
Оказывается, что между коэффициентами Клебша - Гордона группы
вращений и полиномами Якоби
^М== ийг(1-^~"(1k1-+^8+р]
существует удивительная аналогия.
Введем предварительно несколько определений.
, I. Пусть f(k) - функция целочисленного аргумента k. Разностной '
степенью s{/(&)}Ls] этой функции (по аргументу k) мы назовем произведение
\f{k))V = nk)f{k- \)f{k - 2).. ./(А -3+1).
S
Так, например,
{A}W = A(A- 1)...(А - s+l)="-.
II. , Пусть/(&) по-прежнему - функция целочисленного аргумента. Первой
разностью мы назовем разность
^f(k)=f(k)-f(k- 1).
Д2
Аналогично этому вторая разность определится
J?Lrfik) = \f(k)-f(k- 1 )] - [/(*- 1)-/(& - 2)1 = = /(*) - 2/(А- !)+/(& -
2).
дополнения 365
Нетрудно проверить, что п-я разность вычисляется по формуле
п
Д п
. Обратимся теперь к полиномам Якоби. Рассмотрим 4*^-^ :
8=0
8 + "/ ,,\S + 3
тЬ-К'-т)
d
(-1)" 1
<(т) = <- Ч1 - ?)>-tH'+C'J

-------------5-=- Г(Л - р.)8+я (^Ч- p-)s+3j-
2ss! k* (k - (j.)(r) (k + p)^ dp* 1 ^ J
Рассмотрим полином
T? (p, &) - 23s\k*{k - p)e (k + tfp# (?) =
= (-1)S~[(A: -p)a+"(A + p)3+PJ.
Пусть p и k-целые числа. Заменим в выражении для 7tf(p, k) обычную
степень разностной степенью, а производную - разностью, т. е. положим
Tf (j*, Л) = (-1 )а~^~ [(& - р)^'> (А + р)|Г+И].
(Др)
Функцию Tf (р, k) будем называть разностным аналогом полинома Plf (р. к).
Оказывается, имеет место следующая замечательная теорема: коэффициенты
Клебша - Гордона выражаются через функцию
Tf (р. Щ по формуле Dlm /~(1 +4 - 4)! (/ - 4 + 4)! (4 + 4 - 0! (2^ +
4 ч/
m,+ma \ ^ - 4 _р 1)1 л
у Л Г (* + т)\ (I - т)\ .ч
* (4 - ftii)!(4 + mi)K4 - m2)K4 + тгУ- 8
где •
k = 4+.4 + (' * + *piL + >Wlt
д = /-4 + 4- а=(А-mi)-(/ + /"), Р = (4+%)-
Мы не будем выводить эту формулу. Заметим только, что она получается
простыми выкладками, если воспользоваться следующей
366
ДОПОЛНЕНИЯ
записью коэффициентов Клебша - Гордона *):
olm ___________
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed