ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Ао, о, 0 = ^1, о, О = ^1, о, 1 = ^2, О, 0 = ^2, О, 2 = ^1, 1, о = ^2, 2,0 = 1 -
На цветной вклейке представлено построение решетки На каждом
этапе построения (или при каждом увеличении порядка решетки на единицу) пирамида выращивает по одной, тождественной самой себе, пирамиде в каждой из трех своих свободных вершин, помеченных на рис. Х.19а черным цветом и соответствующих элементам А1Л> = 1.
240
Глава X
Рис. X.19b. Разобранная пирамида, демонстрирующая свое восьмигранное внутреннее пространство.
Многомерные решетки
241
Рис. Х.19с. Внутреннее пространство затравки — октаэдр.
Примеры.
8 2 5i <*2 Si So 82 Si ?o
7 = 4 1 0 0 7 = 7 1 1 1 7 = 7 1 1 1
У = 3 0 1 1 У = 3 0 1 1 7' = 4 1 0 0
7" = 1 0 0 1 7" = 4 1 0 0 7" = 3 0 1 1
Л4, 3, 1 --- Л), i, 1 х Лм, 0 X Ai, о х 0 х 1 = 0
о
О
^7,3,4 --- Ai, i, 0 X А1 1 0 X Ai, 0,1 - 1 х 1 х 1 = 1
5 -1- 5
^7,4,3 --- Ai, 0,1х ^1,0,1 X Ai, 1,0 = 1 х 1 х 1 = 1
Попробуйте представить себе, какую форму имеет пустота внутри фрактальной пирамиды. Внутреннее пространство между пирамидками затравки — восьмигранник, или октаэдр. На рис. Х.19Ь можно видеть изометрическую проекцию «разобранной» пирамиды вместе с вписанным в нее виртуальным октаэдром. Грани этого октаэдра показаны по отдельности на
242
Глава X
рис. Х.19с. Грани 1, 3, 5 и 7, которые мы можем назвать сплошными, принадлежат также пирамидкам затравки, грани же 2, 4, 6 и 8, так сказать, виртуальны, поскольку кроме пустоты, там ничего нет.
Рис. X.19d. Взаимосвязи между гранями внутреннего октаэдра в пирамиде первого порядка.
Рис. Х.19е. Взаимосвязи между гранями внутреннего октаэдра в пирамиде второго порядка.
На рис. X.19d схематически, в виде шариков, представлены грани внутреннего октаэдра. Линия, соединяющая два соседних шарика, указывает на то, что соответствующие грани октаэдра имеют общее ребро. Это упражнение подтверждает предварительное наблюдение, заключающееся в том, что
центральные точки граней правильного октаэдра совпадают с вершинами куба (и наоборот, центральные точки граней куба совпадают с вершинами правильного октаэдра). В качестве следующего упражнения можно попытаться представить, как выглядит внутренняя область пирамиды второго порядка. С кубами иметь дело все же проще, чем с октаэдрами, поэто-
СПЛОШнан 1 рань
вирту
грань
Кронекерово произведение в отношении других операций
243
Рис. X.19f. Трехмерная губка Менгера и ее фрактальная внутренняя область.
му обратите внимание на рис. Х.19е: маленькие черные шарики внутри больших пустых соответствуют прорастанию виртуальных граней малых октаэдров из сплошных граней предшественника. Продолжив построение, читатель без труда убедится, что внутренняя область пирамиды также фрак-тальна.
Фигура, изображенная на рис. X. 19f, представляет собой губку Менгера третьего порядка (третий этап построения), получаемую из ковра Серпинского путем добавления третьего измерения; также показана форма внутренней области такой губки.
Кронекерово произведение в отношении других операций
До этого момента мы рассматривали кронекерово произведение только в отношении арифметического умножения. Ничто, однако, не мешает нам дать определение решеточных произведений в отношении других математических операций. Например, в случае операции арифметического сложения имеем
V = (1 2 -3),
у(2) =(2 3 — 2 | 3 4 — 1 | —2 —1 — 6) (в отн. сложения).
244
Глава X
Интересный пример:
(О 1) 0 (О 2) = (О 1 2 3) (в отн. сложения),
(О 1) (8) (0 2) (8) (0 4) = (0 1 2 3 4 5 6 7),
(О 1) 0 (О 2) 0 (0 4) 0 (0 8) = (О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15), ...
Для сложения нейтральным элементом является 0, т. е. для любого а справедливо равенство а + 0 = 0 + а = а. Решетка А, начальный элемент Ао, о, о,... которой является нейтральным в отношении некоторой операции, порождает фрактальную решетку А^п\ где п > 0, в отношении этой операции, поскольку матрица А в этом случае всегда будет находиться в неизменном виде у начального элемента решетки более высокого порядка, — в точности такую же картину мы наблюдали в отношении умножения.
В следующем примере мы воспользовались последовательностью Туэ-Морса:
Г =(0 1),
Г(2) = (011 0),
Г(3) = (01101001) (в отн. сложения по модулю 2).
Еще один пример:
S = (0 1 2 3),
S(2) = (0 12012012012012 0),
?(") = (0 12012012...) (в отн. сложения по модулю 3).
В общем виде можно записать, что если
S = (0 1 2 3 ... т-1),
