ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
f(4) (mod 3) = [1 22 12,1 1,2*2 1 12 1221]
f(5) (mod 3) = [1 22 12 1 122 1 12122 1*21 12 1221 12212 1 1 2]
Последовательность Т.- М. = [01 101001 100101 10* 100101 1001 101001]
Рис. ХЛба. Последовательность Туэ-Морса фрактальна.
Пщ
Ш
Рис. Х.16Ь. Первые пять этапов построения последовательности Туэ-Морса в геометрической интерпретации; черные квадраты = 1, белые = 0.
последовательностью Туэ-Морса. Процедура построения последовательности представлена на рис. Х.16а: на заключительном этапе единицы заменяются нулями, а двойки — единицами; наглядно показан фрактальный характер последовательности. Число, мантисса которого по основанию 2 составлена из цифр бесконечной последовательности Туэ-Морса, транс-цендентно. Рис. Х.16Ь иллюстрирует геометрический способ построения такой последовательности. Каждая новая последовательность получается посредством добавления к существующему участку его «негатива».
Распространив этот процесс на два перпендикулярных направления, как показано на рис. ХЛбс, получаем замощение плоскости (рис. X.16d). Несмотря на то, что оно симметрично относительно диагоналей и вообще выглядит довольно регулярным, результатом любого из этапов построения нельзя замостить результат последующего этапа.
236
Глава X
гл
Ф Щ С
Рис. Х.16с. Последовательные поколения замощения.
Рис. X.16d. Замощение пятого порядка, порожденное последовательностью Туэ-Морса.
Многомерные решетки
До сих пор мы рассматривали одно- и двумерные решетки, т. е. векторы и матрицы. Мы убедились в том, что кронекерово умножение матрицы и вектора вполне возможно, иными словами, нет необходимости в том, чтобы умножаемые решетки имели одинаковую размерность. При умножении на двумерную матрицу вектор следует рассматривать как одномерную матрицу, состоящую либо из одной строки, либо из одного столбца. Это приме-
Многомерные решетки
237
Рис. Х.17а. Трехмерные матрицы М и R.
нимо и к решеткам любой другой размерности d, вложенным в D-мерное пространство, где D d.
Имея это в виду, мы можем обобщить понятие кронекерова произведение на любое количество измерений. Начнем с рис. Х.17а, на котором построены две трехмерные матрицы М и R. Индексы р, р', рп матрицы М и индексы р, р', р" матрицы R откладываются, соответственно, по осям d, d!, d!' (см. схему координатных осей в правом нижнем углу рис. Х.17Ь). На рис. Х.17Ь показано кронекерово произведение М ® R, элемент которого С?7,7',7" задается выражением
^7?7/?7// (М ® -й)(д+тр),(/х/+т/р/),(д//+ш///)//) ,fx" X Rp,p' ,p" •
(10.23)
Увеличение количества решеток (или измерений) приводит к ощутимому увеличению сложности вычисления элементов кронекерова произведения. Ниже предложен табличный метод, проиллюстрированный на примере с вычислением произведения трех четырехмерных решеток, — с его помощью можно организовать процесс и избежать ошибок. Индексы 7, 7', 7", г),п записываются, как показано, вместе со своими представлениями по соответствующему основанию:
G S R М
7 по основанию (5, г, га.) =
7' по основанию (sf, г', га'.) =
7" по основанию (s", г", т".) =
7'" по основанию (s'", г'", т'".) =
Индексы множеств М, R и S вычисляются затем в графах с соответствующими символами в порядке возрастания.
(7 Р Р
а' р' р
а" р" Р
о,п р,п Р
г
п
т
238
Глава X
Q},5,3 G, 5з G6 53 G7 53
Matrix G
Рис. X.17b. Трехмерное кронекерово произведение G = M 0 R.
Коммутативность и многомерность
Рис. Х.18 иллюстрирует коммутативность кронекерова произведения вектора и матрицы в трехмерном пространстве, причем
т = т" = 1, г' = 1, т. е. (i = цп = 0, р' = 0;
следовательно,
Gp+mp, ii'+m'p',n"+m''p" = Gр? р/? р"
= (Л/f 0 Д)р, д', р/; = (-R 0 М)р? р// = -A/fg, р/, оЯр, о, р" •
Многомерные решетки
239
Рис. Х.18. Кронекерово произведение матрицы и перпендикулярного ей вектора.
Говоря вообще, кронекерово произведение двух решеток в многомерном пространстве коммутативно тогда и только тогда, когда не существует общего для обоих измерения. В трехмерном пространстве так бывает в случае умножения двух векторов или вектора и матрицы. В четырехмерном пространстве коммутативным может оказаться и произведение двух матриц. Если решеток, произведение которых необходимо найти, больше двух, то общей размерности не должно быть ни у одной пары решеток. Эти правила, очевидно, никак не объясняют коммутативности произведения двух различных степеней одной решетки.
Трехмерная пирамида Серпинского и губка Менгера
Рис. Х.19а и цветная вклейка 24Ь иллюстрируют, в полном соответствии с выражением (10.23), процесс построения трехмерной салфетки Серпинского в форме правильного тетраэдра, пронизанного многочисленными отверстиями. На рис. Х.19а показана структура затравки пирамиды, в которой семи из 27 вершин решетки А были присвоены значения 1, остальные вершины содержат нули. Таким образом,
