ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Спектры иррациональных квадратных корней
В древних арабских математических трактатах квадратные корни назывались особым термином samet, что приблизительно означает «безмолвный, безголосый»; в первых латинских переводах с арабского этот термин превратился в surdus («глухой, глухо звучащий»), последствия чего мы можем наблюдать во многих современных европейских языках (напр., англ. surd «иррациональное число, квадратный корень»). Непрерывная дробь иррационального квадратного корня всегда имеет вид
'/N = [а, (/3, х, 5, 5, х, Р, w)], где из = 2а;
например,
V2 = [1, (2)], л/З = [1, (1, 2)], л/5 = [2, (4)], Vl4 = [3, (1, 2, 1, 6)].
52
Глава II
Таблица II.4. Спектры иррациональных квадратных корней
N а 00 N а 00
2 1 2 17 4 8
3 1 1 2 18 4 4 8
5 2 4 19 4 21312 8
6 2 2 4 20 4 2 8
7 2 1 1 1 4 21 4 11211 8
8 2 1 4 22 4 12421 8
10 3 6 23 4 13 1 8
11 3 3 6 24 4 1 8
12 3 2 6
13 3 1111 6
14 3 121 6
15 3 1 6
Тобиас Данциг назвал совокупность целых чисел, заключенных между квадратными скобками непрерывной дроби, спектром иррационального числа. Несколько таких спектров приведены в таблице II.4. Эти регулярные непрерывные дроби включают в себя непериодическую часть длиной в одно число (целое число а, которое представляет собой целую часть квадратного корня) и периодическую часть. Такие дроби называют квази-периодическими. Если непериодическая часть отсутствует, то РНД является строго периодической.
Апериодические бесконечные регулярные непрерывные дроби
Такие ПНД не являются ни конечными, ни периодическими и служат для представления алгебраических иррациональных чисел порядка выше 2 и трансцендентных (неалгебраических) иррациональных чисел — таких как число е, представление которого в виде непрерывной дроби было найдено Эйлером (1707-1783):
е = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...]. (2.16)
Картина сходимости к е, представленная в таблице II.5, похожа на ту, что мы наблюдали в случае периодических непрерывных дробей: приближение к иррациональному числу происходит через последовательность отношений, значение которых оказывается попеременно то меньше, то больше предельного значения, к которому сходится данная последовательность. Вычисленная с точностью до десяти десятичных знаков подходящая дробь ~ 2, 717948718 ... отличается от истинного значения е всего лишь на 0,012%.
Апериодические бесконечные регулярные непрерывные дроби 53
Таблица II.5. Сходимость к е
Qi
Ni
Di
г
2 -1 012345 6
- - 2 1 2 1 1 4 1
0 1 2 3 8 11 19 87 106
1 0 1 1 3 4 7 32 39
7 1 — — — —
3 4 7 32 39
8 11 19 87 106
Можно показать, что любая бесконечная РНД сходится к некоему пределу и что любое действительное число можно абсолютно однозначно разложить в регулярную непрерывную дробь. Если рассматривать разложение числа в РНД как «представление» этого числа в «системе» непрерывных дробей, то хорошо заметно сходство такого разложения с представлением
числа в позиционнои системе счисления — равно как и различия между ними. Для обоих представлений характерны непременная сходимость и однозначное соответствие числу. И наоборот, в каждой из этих систем любое число представляется совершенно однозначно. В обоих случаях конечные разложения соответствуют рациональным числам. В позиционной системе бесконечные периодические представления также соответствуют рациональным числам, тогда как в системе РНД такое представление указывает на то, что мы имеем дело с квадратичным иррациональным числом. Трансцендентные же иррациональные числа как в том, так и в другом случае выражаются, очевидно, бесконечными апериодическими представлениями. Приводимое ниже изящное выражение для трансцендентного числа 7г было найдено Брункером:
Значительный вклад в изучение непрерывных дробей внес Эйлер; ему же мы обязаны еще одним не менее изящным выражением, но уже для другого знаменитого трансцендентного числа, а именно для е:
1
(2.17)
1
(2.18)
е = 2 +
1
1 +
54
Глава II
Непрерывные дроби позволяют по-новому взглянуть на бесконечные процессы — такие как позиционная система счисления, спирали и последовательности Фибоначчи. Однако прежде чем перейти к рассмотрению этих процессов, введем понятие обратноподходящей дроби.
Обратноподходящие дроби
Возьмем конечную непрерывную дробь
Ф \_Q0i Qii Q2, • • • 1 Qs—1? Qs\ и запишем следующие равенства, двигаясь от ее конца к началу:
Ро = Qs,
Pi = [qs-l, Qs] = Qs-1 + 1
Ро ’
