Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
4.3.1. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИТО. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Стохастическая величина x(t) подчиняется СДУ Ито, записанному в виде
dx(t) — a[x(t), t]dt + b[x(t), t]dW(t) 7 (4.3.3)
если для всех t и t0
x(t) = x(t0) + / dt' a[x(t'), t'] + / dW(t') b[x(t'), t']. (4.3.4)
'0 'o
Расчеты методом Ито и СДУ 133
i0 tj t% fj tjf is is t
Puc. 4.2. Иллюстрация метода Коши — Эйлера для построения приближенного решения стохастического дифференциального уравнения
d\(i) = o[.v(/), t]dt + b[x{t), t]dW{t).
Прежде чем рассматривать условия, которым должны удовлетворять коэффициенты в (4.3.4), следовало бы выяснить, что следует понимать под решением такого уравнения и что означает единственность решения в данном контексте. С этой целью мы можем рассмотреть
«дискретный вариант СДУ», для чего выберем последовательность
точек tj (как показано на рис. 4.2)
t0<t,<t2< ••• < < /„ = / (4.3.5)
и запишем уравнение в виде
ДIV' = W(ti+l) - Щг,). J
Из (4.3.6) видно, что процесс приближенного решения уравнения состоит в том, чтобы вычислять xj +,, зная*,, путем прибавления детерминированного члена
*f+i = х, + а{хь ti)Ati + b(xh t,)AWi.
(4.3.6)
(4.3.7)
а(х„ t,)At,
(4.3.8)
и стохастического члена
Ъ{х„ t,)AW, .
(4.3.9)
Стохастический член содержит элемент ДИЛ, который является приращением винеровского процесса, но статистически независим от xh если, во-первых, значение х0 само не зависит от всех W{t) — W(tQ)
134 Глава 4
! > t0 (таким образом, если начальные условия полагаются случайными, они должны быть неупреждающими) и, во-вторых, функция а(.х, I) есть неупреждающая функция t для любого фиксированного х.
Осуществляя итерацию на основе (4.3.6), мы видим, что х; всегда не зависит от ЛИЛ для j ^ /.
Затем, устремляя шаг разбиения к нулю, строят формальное решение. Единственность решения означает, что для данной реализации W(t) случайного винеровского процесса W(t) получаемое частное решение уравнения единственно. Мы говорим, что решение существует, если с вероятностью, равной единице, существует решение для произвольно взятой реализации W(t) винеровского процесса W(t).
Описанный метод построения решения называется методом Коши — Эйлера; он может быть использован для моделирования.
Обычно, однако, существование и единственность доказываются иным путем, хотя можно в принципе продемонстрировать эти свойства и так. Здесь мы не будем доказывать теоремы существования и единственности: читатель может найти доказательства в [4.3]. Условия существования и единственности решения на интервале [/0, Т] суть следующие:
1) условие Липшица: существует К, такое, что
для всех х, у и t в интервале [/0, Т]\
2) условие роста: существует К, такое, что для всех t на интервале
При этих условиях существует единственное неупреждающее решение х{!) на интервале [Г0, Т].
На практике почти всякое стохастическое дифференциальное уравнение удовлетворяет условию Липшица, поскольку оно, по сути, является условием гладкости. Условие роста, однако, нередко не выполняется. Это не означает, что решения не существует, это означает скорее, что решение может уйти в бесконечность. Другими словами, значение л' может обратиться в бесконечность за конечное время (на практике — за конечное случайное время). Это явление встречается и в обыкновенных дифференциапьных уравнениях. Например, уравнение
|а(.г, О - а{у, /)! г !b(x, t) - Ь(у, 01 < К\х - у\
(4.3.10)
['о. П
ja(x, 012+ Щл'. 012 < К2(\ ± \х\г).
(4.3.11)
(4.3.12)
имеет общее решение с начальным условием х = xQ при / = 0: л-(0 = (- fl/ + l/.vjr1'2. (4.3.13)
Расчеты методом Ито и СДУ 135
Если а положительно, то решение обращается в бесконечность при х0 = (at)~w2; если же а отрицательно, то решение не уходит в бесконечность. Если условие Липшица не удовлетворяется, то решение не обязательно обратится в бесконечность. Для того чтобы с уверенностью утверждать это, необходимо пользоваться более тонкими критериями устойчивости [4.3].
4.3.2. МАРКОВСКОЕ СВОЙСТВО РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ИТО
Покажем теперь, что решение стохастического дифференциального уравнения (4.3.4) x(t) есть марковский процесс. Интуитивно это очевидно, поскольку при данном начальном условии x(tn) дальнейшее движение во времени однозначно (в стохастическом смысле) определено; иначе говоря, x(t) при t > t0 определяется только
1) конкретной реализацией процесса W(t) при t > /0;
2) значением x(?0).
Поскольку x(t) есть неупреждающая функция времени, W(t) при t > t0 не зависит от x(t) при t < t0. Таким образом, ход x(t) при t > t0 не зависит отх(0 при t < tQ, еслих(?0) известно. Это означает, чтох(0 есть марковский процесс. Строгое доказательство приводится в [4.3].
