Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(3.8.76)
так что
ps(x) = (nDlk)~ln exp (—kx2/D). (3.8.77)
Это гауссовское распределение с нулевым средним и дисперсией D/2k, что согласуется с приведенным выше решением, зависящим от времени.
Ясно, что для системы с одной переменной стационарное решение всегда может быть получено указанным методом интегрирования, если только это решение существует. Если стационарного решения не существует, то данный метод дает решение, которое нельзя нормировать.
Временные корреляционные функции для процесса Орнштейна — Уленбека. Временная корреляционная функция аналогична функции, упомянутой в связи с винеровским процессом. Она может быть рассчитана и является легко измеримой величиной для большинства стохастических процессов. Однако отсутствует какой-либо другой простой путь ее расчета, не связанный непосредственно с определением
<AXf)AXs) |[х0, г0]> = Я dxtdx2 х^2 р(хи t; хг, j|x0, f0),
(3.8.78)
114 Глава 3
откуда, используя марковость процесса, находим
(3.8.78) = Ц dxldx2xxxlp{xut\x1,s)p(x1,s\x0,t0) (3.8.79)
в предположении, что
t0 . (3.8.80)
Корреляционная функция с определенным начальным условием обычно не представляет такого интереса, как стационарная корреляционная функция, которая получается при приближении системы к стационарному распределению. Как указано в разд. 3.7.2, переход к ней можно осуществить, относя начальное условие к весьма удаленному прошлому. Полагая t0 — -оо, находим
lim р(х2, s |х0, tо) = рш(х2) = (nDjkГ1/2 exp (— kx\jD) . (3.8.81)
Г0—-ос
Подставляя в (3.8.79) распределение (3.8.81) и условное распределение, соответствующее равенствам (3.8.72, 73), и интегрируя при учете того, что стационарное среднее равно нулю, получаем
<X(t)X(s)>, = <*(/)да>, = ^exp (~k\t - J|). (3.8.82)
Этот результат демонстрирует общее свойство стационарных процессов: корреляционные функции зависят только от разностей времен. Общим результатом [3.6] является также тот факт, что описанный в данном разделе процесс — единственный гауссов марковский процесс’ для одной действительной переменной.
Отметим, что результаты этого подраздела очень просто выводятся методом стохастических дифференциальных уравнений, который будет развит в гл. 4.
Процесс Орнштейна — Уленбека — это простой и представимый явно процесс, имеющий стационарное решение. Стационарный процесс Орнштейна — Уленбека часто используется как модель реального шумового сигнала, для которого значения X(t) и X(s) заметно корре-лированы при
\t ~ s\ ~ l/k s т. (3.8.83)
Для произвольного процесса X{s) время корреляции т может быть определено равенством
т - J dt\<X(t), X(0)\l/D{X}s, (3.8.84)
0
которое справедливо при любом виде корреляционной функции.
Марковские процессы 115
3.8.5. СЛУЧАЙНЫЙ ТЕЛЕГРАФНЫЙ ПРОЦЕСС
Рассмотрим сигнал X(t), который принимает любое из двух значений а или Ь и переключается с одного значения на другое с определенными вероятностями в единицу времени. Таким образом, имеем управляющее уравнение
Его решение легко найти, если заметить, что Р(а, t\x, to) + P(b, t\x,t0) = 1
и учесть тот факт, что для комбинации \Р(а, t \х, t0) - цРф, t \х, /0) получается простое уравнение, решением которого при начальном ус-
Нетрудно видеть, что данному процессу соответствует следующее стационарное решение, получаемое переходом /0 — — оо;
которое, конечно, можно сразу получить из управляющего уравнения.
При помощи (3.8.88) нетрудно вычислить среднее значение и дисперсию. Для среднего имеем
д,Р(а, t\x, t0) = — ХР{а, t\x, t0) + цР(Ь, t\x, t0) dtP(b, 11 x, to) — XP(a, 11 x, to) — цР{Ъ, 11 x, t0)
(3.8.85)
ЛОВИИ
P(x', ta\x, to) = SX,X'
(3.8.86)
служит
ЛР(а, t \x, t0) - fiP(b, t |x, tQ) - exp + p)(t - /0)](Я,, - M,,*). (3.8.87)
В итоге имеем
(3.8.88)
(3.8.89)
<*(OI[x0, /„]> = 2 xP(x, t |x0, f0)
116 Глава 3
так что
<JO> = . (3.8.9D
Ц + л
Можно рассчитать и нестационарную дисперсию, но при этом получается слишком громоздкое выражение. Поэтому приведем только стационарную дисперсию
<3-8-92>
Чтобы рассчитать стационарную корреляционную функцию (предполагая t ^ s), запишем
<A"(r)AXs)>s = ? хх'Р(х, г | х', s)Ps(x') (3.8.93)
ххг
= ? x\X{t)\ [X1, s])ps(x') . (3.8.94)
х'
Используя теперь (3.8.90 — 92), получаем
<*(*№>. = <*>? + exp [—(А + ~ ШХ2)* - <*>?) (3.8.95)
