Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку реализации процесса u(t) непрерывны, функция u(t) должна описываться уравнением Фоккера — Планка. Коэффициенты сноса и диффузии для этого процесса могут быть вычислены по формулам разд. 3.5.2. Можно записать следующее:
t+At
<м(, + д 0 _ щ I [Uot ф = < J ф)*> =0 (4.1.10)
t+A t t+At
([u(t + At) - «о]2|[м0, Ф = J ds J ds'(Z(s)Z(s')y (4.1.11)
t+At t+At
= J ds J ds'b(s — s') = At, (4.1.12)
так что коэффициенты сноса и диффузии суть
А(и0, t) = lim + А?) ~ и°^и°’ = 0 (4.1.13)
дг-»о At v 7
В(щ, ,)-lim Ф_|
дг-»о At 4 7
Таким образом, уравнение Фоккера — Планка является уравнением винеровского процесса, и мы можем записать
Г
J iit'W = u(t) = W(t). (4.1.15)
Мы приходим к парадоксальному результату: интеграл от ?(/) ра-вен функции W(t), которая не может быть продифференцирована,
120 Глава 4
как показано в разд. 3.8.1. Это означает, что с математической точки зрения уравнение Ланжевена (4.1.1) не существует. Однако соответствующее интегральное уравнение
x{t) — х(0) = J а[.ф), s]ds + J b[x(s), s]?(s)ds (4.1.16)
о о
допускает строгое истолкование.
Произведем замену, которая следует непосредственно из интерпретации интеграла от %(t) как винеровского процесса W(t):
dW{t) = W(t + dt)~ W{t) = at)dt, (4.1.17)
и запишем второй интеграл в виде
/ 6[.ф), s]dW{s), (4.1.18)
о
Это своего рода стохастический интеграл Стилтьеса от реализации W(t). Такой интеграл может быть определен (см. разд. 4.2).
Прежде чем перейти к этому, отметим, что требование непрерывности u(t), хотя и вполне естественное, может быть ослаблено, чтобы дать возможность описывать скачкообразные процессы стохастическими дифференциальными уравнениями. Об этом уже упоминалось в разд. 1.4.1 в связи с обсуждением дробового шума. Однако мы не считаем целесообразным заниматься здесь этим вопросом и отсылаем читателя к соответствующей литературе [4.1].
Обычно полагают, что ?(0 гауссовская и удовлетворяет также условиям (4.1.2). Для приведенных выше рассуждений это не требуется: гауссовская природа функции ?(/) следует из предположения о непрерывности u(t). Строго говоря, выбор того или другого предположения — дело вкуса. Однако предположение о непрерывности и (г) кажется нам более естественным, чем постулирование гауссовской природы ?(0> поскольку последнее может быть в принципе-сопряжено с необходимостью вычислять моменты произвольно высоких порядков.
4.2. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
4.2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА
Пусть С(/) есть произвольная функция времени, a W(t) — виреров-ский процесс. Будем определять стохастический интеграл
I
( G(t' )dW(t’) как интеграл Римана — Стилтьеса. Разобьем ин-
Расчеты методом Ито и СДУ 121
Рис. 4.1. Разбиение временнбго интервала, использованное в определении стохастического интегрирования.
тервал [/0, /] на п подынтервалов с помощью точек разбиения (рис.
4.1)
to ^ ti ^ ••• =s^ /„_] =s^ t (4.2.1)
и выберем промежуточные точки т( на каждом подынтервале
ti-1 ^ т,- /,¦. (4.2.2)
t
Стохастический интеграл | G(t' )dW(t’) определяется как предел
'о
частичных сумм
= ? G(T&W{tt) - Ж(г,_,)] ¦ (4.2.3)
1-1
Интуитивно ясно, что, вообще говоря, интеграл, определенный как предел Sn, будет зависеть от конкретного выбора промежуточных точек т(, поскольку, если выбрать С(т,)= ^(т,), то
<s„> = < ? W(x,)[W{tt) - Ж(г,_,)]> (4.2.4)
1 = 1
= ? [min(r„ /,) - min(T„ /,_,)] (4.2.5)
/=1
= Ё(т,(4.2.6)
J=1
Если, к примеру, мы выберем для всех i
т, = at, + (1 - a)ti_1 (0 < а < 1), (4.2.7)
122 Глава 4
ТО
<5„> = ? (t, - /,_,) a = (t~ to) а. (4.2.8)
« = 1
Таким образом, среднее значение интеграла, в зависимости от выбора промежуточных точек может быть любым — от нуля до (t — t0).
Будем поэтому выбирать промежуточные точки так, чтобы а = О, иначе говоря,
т, = Л_,, (4-2.9)
и определим стохастический интеграл Ито от функции G(t) как
f G(t')dW(t') = ms-lim 2 G(f,_i)[fP(f,) — W(t,_,)]
t0 '=1
(4.2.10)
Под ms-lim мы понимаем среднеквадратичный предел, как он определен в разд. 2.9.2.