Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
dф{t) = [fi/fl(/)] [ —c/W^Osin ф(1) — dl-Vzcos $5(f)] • (4.4.39)
Определим теперь
dWa{t) = d\Vx{t)ca% ф{1) + c/H/2(?)sin ф(1)
(4.4.40)
dWfU) = - dlVs(t)sin ф(1) + rf^z(Ocos #/).
Расчеты методом Ито и СДУ 151
Заметим, что это — ортогональные преобразования того типа, о котором упоминалось в разд. 4.3.5, так что мы можем считать dWa(t) и dW^t) приращениями независимых винеровских процессов W (t) и
ЩП.
Таким образом, стохастические дифференциальные уравнения для фазы и амлитуды имеют вид
W) = [eKt)VWt{t), (4.4.41а)
da(t) = [—ya{t) + {e}ja(t)]dt + edWa(t). (4.4.41b)
Замечание. Пользуясь правилами, изложенными в разд. 4.3.6(2), можно преобразовать как уравнение в декартовых координатах (4.4.32), так и уравнения в полярных координатах (4.4.41) к форме Стратоновича; при этом оказывается, что они имеют в точности тот же вид, что и уравнения Ито. Тем не менее прямое преобразование с использованием обычных методов анализа невозможно. Идя этим путем, мы получали бы те же результаты вплоть до (4.4.38), где недосчитались бы члена j^e2/a(oj^. В связи с этим пришлось бы ввести дополнительный член1*, который обусловлен тем, что в формулировке Стратоновича приращения dW^t) коррелированы с ф(t), и поэтому dWa(t) и dW^t) не могут быть просто определены выражениями
(4.4.40). Здесь мы ясно видим преимущество метода Ито, в котором сохраняется статистическая независимость dW(t) и переменных, определяемых в момент времени t.
К сожалению, уравнения в полярных координатах, в отличие от уравнений в декартовых координатах, не позволяют получить явное решение. Однако их удобно использовать при описании процессов в лазерах: в уравнения лазера в (4.4.416) входит только еще дополнительный член, пропорциональный a(t)2dt.
4.4.6. ПРОЦЕСС ОРНШТЕЙНА — УЛЕНБЕКА ДЛЯ СЛУЧАЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Этот процесс определяется СДУ:
dx(t) = - Ax(t)dt + В dW(t), (4.4.42)
В 5-варианте этот член появляется при усреднении 5-уравнений da = -yadt + c[cos *p-dW^ + sin ip-dW2], d*P = (e/a)[-sin <p-dWt + cos <p-dlV2] (A\(a) = -ya)
с применением формулы (4.3.43a). После выделения среднего в (4.4.40) dW и ^ можно уже считать некоррелированными. В итоге также придем к (4.4.41). — Прим. ред.
152 Глава 4
(где А и В — постоянные матрицы), решение которого легко получить (ср. разд. 4.4.4):
х(/) = exp (-At)x(O) + f exp [~A(t - t')]B dW(t). (4.4.43)
0
Среднее значение дается выражением
<х(0> = ехР (—At)(x(0)') . (4.4.44)
Корреляционная функция имеет вид
<х(0, *T(s)> = <W0 - <*(0>][*С*) - <*0)>]т>
= exp (—At)(x(0), xT(0)>exp (—/4s)
+ } exp [—A(t — f')]#BTexp [—/4T(s — t')]dt'. (4.4.45)
0
Для некоторых частных случаев интеграл может быть вычислен в явном виде1*; в задачах с не слишком высокой размерностью можно непосредственно перемножить все матрицы под интегралом. Ниже мы положим <х(0), хт(0)> = ,0, что соответствует детерминированному начальному условию, и рассмотрим несколько частных случаев.
а) Пусть АА1 = А1 А
Тогда найдется унитарная матрица S, такая, что
SS+ = 1
SAS+ = SATS+ = diag(Ab Я2, ...Л„). (4.4.46)
^ Интеграл в (4.4.45) может быть вычислен в общем случае следующим образом. Для определенности положим l>s« введем символ /V упорядочения операторов, обозначающий, что А занимает крайнее левое положение, а АТ — крайнее правое. Тогда этот интеграл можно записать
J = Л' ] dt’exp[-At - Лт5 + (А + AJ)t']BBJ.
о
Производя обычное интегрирование под знаком N, получаем
J = /Vj[exp(-.4(f - s)) - ехр( —- АТ$)](А + АТ)~,ВВТ\ или
J = ехр[-А(1 - j)]p - ехр(-/1/)рехр(-Лт$),
где р = N[{A + АтУ!ВВ7], т. е. N[{A + ЛТ)~’ВВТ - р] = 0 и
Л'!(/1 + АТ)~'1ВВТ - (А + AJ)p}) = 0.
Складывая последнее равенство, умноженное слева на А, с этим же равенством, умноженным справа на А1, отсюда имеем ВВТ = jV[(/4 + AJ)p] = Ар + рА1. Поэтому в
силу (4.4.51) р совпадает ест. — Прим. ред.
Расчеты методом Ию п СДУ 153
Допустим для простоты, что t ^ s. Тогда
<*(0, *т(*)> = S+G(t,s)S, где
[G(t, s)],7 = [exp (- ЛI! - s j) - exp (- t - /, j-)] . (4.4.47)
б) Дисперсия в стационарном решении
Если А имеет только собственные значения с положительной действи тельной частью, то существует стационарное решение вида
t
xs(t) = | exp [—A(t — t')\B dW(t) . (4.4.48)
Разумеется,
<*s(0> = о
и
min (r, s)
(4.4.49)
<*s(0, **($)> = { exp [—A(t — t')]BBTexp [—AT(s — t')\dt' . i
