Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
t
4.2.2. ПРИМЕР j' W(t' )dW(t' )
'о
Возможно точное вычисление. Запишем (вместо W(/,¦) будем писать
И7,):
s„=±, Wt_i (W, - fV^) = ? lVi-AW, (4.2.12)
;= l (=l
= i 2 tW-> + A^,)2 - W-,)2 - (AW,)2] (4.2.13)
= i[^(02- ^o)2]-iS(A^,)2.
i=l
Можно вычислить среднеквадратичный предел последнего члена. Заметим, что
<2 (A W,/) = 2 <(^, - ^I._1)2> = 2 (// - /i-i) = t - to. (4.2.14)
I i
Вследствие этого
<[2 (w, - - (/ - /„]*>
= <2 W - ^,-i)4 + 2 2 (W, - ж,_,)2 (»0 - ^-,)2
«' i>J
- 20 - /„) 2 (Ж, - ^,)2 + (/ - *o)2>. (4.2.15)
Расчеты методом Ито и СДУ 123
Заметим, что Wt — есть гауссова переменная и не зависит от
Wj — что позволяет нам произвести разложение на множители.
Таким образом,
<(Wt - W^y (Wj - = (t, - *,_,) (tj - tj_,)>
а также (с учетом (2.8.6))
{{W, - = 3 <W - И',-,)2)2 = 3(/, - ?,_,)2.
Из (4.2.16, 17) имеем
<Е (W, - -и- О]2) = 2 ? it, - tt_,f
i i
+ 2 [(Л U-\) (t Го)] lUj tj-i) (t — ?o)]
‘,j
= 2 ? (t, - f,_,)2
i
— 0 , когда л —> оо.
Таким образом,
ms-lim ?(»',— WVi)2 = t — t0
Я“»°о j
по определению среднеквадратичного предела, и
(4.2.16)
(4.2.17)
(4.2.18)
(4.2.19)
J >ПО<ЩО = \[W{tf - I^(f0)2 - (г - r0)].
'о
Замечания
1) </ 1 [<^(02> - {w(tQyy - (г - а = о.
'о
(4.2.20)
(4.2.21)
Это также следует по определению, поскольку в каждый член входит произведение < И^._,Д ИЛ>, которое обращается в нуль, так как AW, статистически не зависит от И^_р как показано в разд. 3.8.1.
2) Полученный интеграл отличается от обычного интеграла Рима-на — Стилтьеса, в котором отсутствовал бы член (t - t0). Причина здесь в том, что \W(t + ДО — W(t)\ почти всегда имеет порядок VT, так что в отличие от обычного интегрирования члены второго порядка по АЩО не исчезают при переходе к пределу.
124 Глава 4
4.2.3. ИНТЕГРАЛ СТРАТОНОВИЧА
Другое определение стохастического интеграла, в котором отсутствует аномальный член (t — tQ), принадлежит Стратоновичу [4.2]. Полностью этот интеграл мы определим в разд. 4.3.6. Для рассмотренных ранее случаев определение данного интеграла сводится к интерпретации подынтегральной функции W(t) как полусуммы ‘ [W(tj) + + W(// + 1). Имеем, как нетрудно проверить,
' " Wit) + Wit
Sj W(t') dW(t') = ms-lim X— " ' [^(r,-)- ^(r,-_,)] (4.2.22)
,0 n->x i=l 2
= т[и/(02- ^(/o)2]. (4.2.23)
Однако между интегралом Ито и интегралом Стратоновича (который мы будем обозначать буквой S перед знаком интеграла, как в
(4.2.23)), не существует единого соответствия. Другими словами, мы не можем определить связь между этими двумя интегралами для произвольных функций G(t). (Если же G(t) относится к диффузионному процессу, определяемому стохастическим дифференциальным уравнением, то можно указать формулу, связывающую эти интегралы; см. разд. 4.3.6.)
4.2.4. НЕУПРЕЖДАЮЩИЕ ФУНКЦИИ
Сложности математической записи могут затруднить понимание смысла неупреждающей функции; в действительности же ничего сложного здесь нет. Мы рассматриваем ситуацию, в которой все функции могут быть представлены как функции или функционалы некоторого винеровского процесса W{t) через посредство стохастического дифференциального (или интегрального) уравнения вида
x(t) - x(t0) = J a[x(t’), t’]dt’ + J b[x(t'), t’]dW{t'). (4.2.24)
'0 >0
Функция G(t) называется неупреждающей функцией t, если для всех 5 и t, таких, что t <5, G(t) статистически независима от W{s) — W(t). Это означает, что G(t) не зависит от поведения винеровского процесса для всех будущих значений /. Очевидно, это довольно естественное требование к имеющей физической смысл функции, которая может быть решением уравнения, подобного (4.2.24), для которого нам интуитивно ясно, что х(t) включает iV(t') только при f < t.
Расчеты методом Ито и СДУ 121
Конкретными неупреждаюшими функциями являются, например,
1) W(t)
Результаты 3 и 5 основаны на том факте, что стохастический интеграл Ито, определяемый (4.2.10), является пределом последовательности, в которую входят только G(t' ) для /' < t, w W(С ) для t' ^ t.
Конкретные причины, по которым мы вводим в рассмотрение неупреждающие функции, состоят в следующем:
1) могут быть получены многие результаты, справедливые только для этих функций;
2) эти функции естественно встречаются в таких ситуациях, как изучение дифференциальных уравнений, включающих время, когда ожидается существование своего рода причинности в том смысле, что неизвестное будущее не может повлиять на настоящее;
