Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
в) Независимость приращений
Винеровский процесс играет ведущую роль при изучении диффузионных процессов, и с помощью стохастических дифференциальных уравнений любой диффузионный процесс можно выразить через винеровский процесс.
Особое значение имеет статистическая независимость приращений переменной IV (t). Точнее, поскольку винеровский процесс марковский, совместная плотность вероятности может быть записана в виде
P(w„, („¦, w„_u ; w„-2, l„-2; ; w0, t0)
и, используя явный вид (3.8.7) условных вероятностей, получаем
2 \ dw(2ith) 1/2ехр (—и'2/2/г)
(3.8.16)
kh
п— 1
II p(w,+ и ti+1 I Wt, tt)p(Wo, to) ,
(3.8.17)
P(w„, t„; w„_„ w„_2, t„_2; w0, t0)
Если ввести переменные AW, = Щ(.) - W(tt_t)
(3.8.19)
At, = t, - ,
(3.8.20)
Марковские процессы 105
то совместная плотность вероятности для них будет иметь вид p(AwB; A wn_ii A w„_2; ... Aw г, w0)
= П {(2лА?,)-1/2 exp (—Awf/2Ati)}p(w0, t0). (3.8.21)
Отсюда из определения статистической независимости (разд. 2.3.4) получаем, что переменные ДИ^. не зависят друг от друга и от величины W(tQ).
Свойство независимости приращений Д W. очень существенно для определения стохастического интегрирования, которое дается в разд. 4.2.
г) Автокорреляционные функции
Большой интерес представляет автокорреляционная функция, уже обсуждавшаяся в разд. 1.4.2 и 3.7.4. Ее формальное определение таково:
<W(t)W(s)\[wa, ф = \ dwxdw2 h',w2^(h'1, t; w2, j|w0, t0), (3.8.22)
т. e. она представляет собой среднее от произведения W (t) и W(s) при условии, что начальное значение W(t^ — w0. Предполагая t > s, имеем
(W{t)W{s)|К, ?„]> = ([W(t) - W(s)W(s)) + <[^)]2> . (3.8.23)
Используя свойство независимости приращений, видим, что первое среднее равно нулю, второе дается формулой (3.8.9), так что в общем случае имеет место формула
(W(t)W(s)\[w0, ?0]> = min(f — t0,s — t0) + wl, (3.8.24)
которая справедлива как при t > s, так и при t < s.
3.8.2. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ
Эта широко известная задача стала уже классической. Предположим, что человек шагает наугад по прямой влево и вправо с одинаковой вероятностью. Длина шага равна /, так что его положение определяется величиной nl, где п — некоторое целое число. Требуется узнать, какова вероятность того, что человек достигнет по прошествии определенного времени заданной точки, находящейся на расстоянии nl от исходной.
106 Глава 3
Задача может быть поставлена двумя способами. Первый, более традиционный, состоит в том, что шаги допускается делать в моменты Nt (N — целое), причем в эти моменты пешеход обязан шагнуть влево или вправо с равной вероятностью. Второй способ заключается в том, что пешеходу разрешается делать шаги влево и вправо в разные моменты, причем вероятность шага в единицу времени равна а. Это означает, что пешеход может находиться в каждой точке различные промежутки времени. Второй случай описывается управляющим уравнением.
Чтобы рассмотреть задачу при помощи управляющего уравнения, предположим, что вероятность перехода в единицу времени задается равенствами
W(n + 11n,t) = W(n — 11и, /) = d (3.8.25)
и W(n\m, 0 = 0 при других значениях т. Тогда, согласно разд. 3.5.1,
вероятность пребывания человека в позиции nl при условии, что он стартует в точке п'1, удовлетворяет управляющему уравнению
d,P(n,t\n',t') = d[P(n + 1, t\ri, t') + Р(п-
-2P(n,t\n't% (3.8.26)
В более классической постановке задачи о случайных блужданиях не предполагается, что человек совершает перемещения влево и вправо согласно управляющему уравнению, но считается, что он перескакивает влево или вправо с равной вероятностью в моменты Nt, так что время является дискретной переменной. В этом случае имеем
Р(п, (N.+ 1)т|п', N't) = \ [Р(п + 1, Ni\n’, N't)
+ Р(п- \,Nt\п', N't)} . (3.8.27)
Если т мало, то можно рассматривать (3.8.26, 27) как аппроксимирующие друг друга уравнения, записав
Р(п, (N + 1)т|п', N't) ~ Р(п, Nt\п', N't) + тд,Р(п, t\n’, /'), (3.8.28)
где t = Nt, t' = N't и d = (1/2)т-1. Следовательно, вероятность перехода в единицу времени в модели, использующей управляющее уравнение, соответствует половине величины, обратной времени выжидания т в модели с дискретным временем.
В обеих схемах решение легко находится путем введения характеристической функции
G(s, t) = <е‘"*> = 2 Р(п, t\n', t')eins.
п
(3.8.29)
Марковские процессы 107
Тогда из управляющего уравнения (3.8.26) получаем d,G(s, О = d(eis + е-*’ — 2)G(s, /),
а уравнение с дискретным временем дает G(s, (N+ 1)т) = ^(е'1 + z~‘’)G(s, Nt) .
(3.8.30)
(3.8.31)
Предполагая, что человек стартует в точке п' — 0 в момент /' = 0, находим в обоих случаях
G(s, 0) = 1,
так что решение уравнения (3.8.30) будет иметь вид Gi(s, t) = exp [(е*1 + e_i' — 2)td],
