Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
\пв, И,)
и поэтому
д? = № + уЬг + L3)p,
(10.3.20)
где
LiP = - ± [Н„ р],
(10.3.21)
Рр = р(т) х тгв{/?} = р(т) х р ;
(10.3.22)
Тгв {А} = 2 <лв. Из И I лв, л5> .
В
(10.3.23)
470 Глава 10
Очевидно, что оператор Р является проектором и
L,Рр = - j [Ни р(Т) х Тгвр] = 0, (10.3.24)
поскольку оператор Нх действует только на операторы, зависящие от состояния термостата. Кроме того, имеем
PLiP = - j р(Т) х Тгв {[Я „ р]} = 0, (10.3.25)
так что требование
PL, = = 0 (10.3.26)
выполнено.
Проверим теперь, исчезает ли выражение PL2Р, т. е. посмотрим, чему равно выражение
- j р(Т) х Тгв {[Нг, р(Т) х р]). (10.3.27)
Если мы подставим типичный член из Н2, а именно СГ,+ , в это выражение, то получим
- у р(Т) х Тгъ{Пр(Т) хСр- р(Т)П х рС}, (10.3.28)
и, очевидно,
Тгв {Пр(Т)} = Тгв {р{Т)П) = U . (10.3.29)
Подобным образом исчезают и все остальные члены. Поэтому РЬ2Р = 0.
Итак, мы можем провести ту же процедуру адиабатического исключения, что и в разд. 6.6, и получить уравнение
fr[p(T) х /5] ~ LiP(T) х р - PL2LilLlP(T) х /5, (10.3.30)
которое сводится к уравнению
^ = L3/5 - TrB{L2LT'L2p(T) X р} . (10.3.31)
Это уравнение теперь можно привести к более простому виду. Однако сначала нужно рассмотоеть член Lf1. В разд. 6.6 мы использовали соотношение
Lr41— Р) = ]&Щ1 - Р) , (10.3.32)
Квантокомсханмческие марковские процессы 471
которое справедливо, когда lim eLl'(l - Р) = О
оо
Последнее следует из предположения, что оператор L, имеет отрицательные собственные значения.
Такое сильное условие здесь фактически не требуется. Необходимо только, чтобы следы операторов Г(, Г,+ по состояниям термостата со стационарным оператором плотности р(Т) исчезали при больших t. Это условие будет выполнено, если определенные линейные комбинации, а именно Е#,-Г(+ и др., имеют коэффициенты gj, которые удовлетворяют условиям гладкости, подобным условиям для функции 5(ш), обсуждавшимся в разд. 10.3.2. Так или иначе, мы принимаем соотношение (10.3.32), а детальную проверку этого соотношения оставляем читателю.
Заметим, что для любого оператора А мы можем определить оператор
A(t) = e~Ll'A = exp(iЯ, t/fi)A ехр( — i H^jh) t (10.3.33)
что находится в согласии с (10.3.7). Это равенство доказывается с помощью явного дифференцирования и определения оператора
= 1[Я" А{,)] = ~LlA{t) • (10-3 34)
Мы можем теперь совершить следующие преобразования:
-ТгB{L2L;'L2p(T) х р}
= ~ J Тгв{[Я2, е_‘я1г/*[Я2, р(Т) х flew*]} dt
п -о
= ] TrBi [е;//|' ;'Я2е->"i"*, [Я2, р(Т) х р]]\ dt (10.3.35)
= 4jTrB {?[Cg,r(+(0 + c+g*r,0), [cgir; + c+gfrJt p(T) x p}}} dt.
n 0 ‘.J
В этом выражении 16 членов. Однако только те из них не равны нулю, в которые входят операторы как Г, так и Г+. Рассмотрим один из таких членов:
~21 Тгв {? Cgir:0)C+g*rjP(T) X р\ dt,
П 0 ‘J
который мы можем записать через оператор
АП^ЕиГгао,
(10.3.36)
472 Глава 10
отождествляя g* — S,-, ш0 — 0 в выражении типа (10,3.9). Введем обозначения, подобные тем, которые обычно используются в квантовой оптике, а именно
~]dt(y+{t)ym = \NK+iS
п о
dt <у+ШФ = ±KN - iS п 0 (10.3.37)
р ] dt (y{t)y+m = да +1) --L ] dt <ЯО)>’+(0> = + 1) + i<5' •
Оценивая двойные коммутаторы, находим, что управляющее уравнение принимает вид
= - J [Н3, р\ - ЩС+С, р\ + id'[CC+, р]
+ + N) (2СрС+ - С+Ср - рС+С)
+ \KN(2C+pC - СС+р - рСС+) = Lp.
(10.3.38)
Замечания
а) Управляющее уравнение в приведенной выше форме обычно выводится без использования преобразования Лапласа, по существу используются только уравнения во временной области (см., например, работу Люиселла [10.5]). В нашем выводе предполагается, что оператор L j много меньше, чем y2L], а на практике в оптических ситуациях это не так, поскольку оператор Нг описывает быстрые колебания, которые затухают довольно медленно в результате взаимодействия с термостатом. Обычно это можно учесть, переходя к представлению взаимодействия, что приводит в результате к управляющему уравнению вида (10.3.38), в котором g, явно зависят от времени, а ш0 в выражении (10.3.9) является частотой свободного движения. Эту процедуру мы продемонстрируем на примере двухуровневого атома в разд.
10.4.2. Нашей целью здесь не являются полные и детальные расчеты, и за полным объяснением мы отсылаем читателя к работе Люиселла.
б) Управляющее уравнение типа (10.3.38) можно считать определением квантового марковского процесса. Данный частный случай является наиболее простым с математической точки зрения. Величины Нг и
