Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Квантовомеханические марковские процессы 473
С, характеризующие свободное движение и взаимодействие с термостатом, совершенно произвольны, так же как и соотношения между ними. Заметим, однако, что такое определение не является полным, если не указать, как определять многовременные средние, или, другими словами, как ввести аналог многовременных совместных вероятностей, лежащих в основе обычных стохастических процессов.
в) При нулевой температуре термостата рв = 10) <01 и все средние от произведения Г + Г исчезают. Это означает, что
Т — 0 => jV = 0, (10.3.39)
и третья строка в (10.3.38) вклада в уравнение не дает. Таким образом, выражение, стоящее в этой строке, соответствует тепловому шуму.
10.4. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ КВАНТОВЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
10.4.1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
В этом случае мы полагаем С — а
С+-*а+ (10.4.1)
[а, а+] = 1
Н3 = ha>(a+a + ?) .
С помощью коммутационных соотношений находим, что уравнение (10.3.38) (в котором теперь пишем просто р вместо р) приводится к виду
^7 = - ш'[а+а, р]
+ %K(N + 1) (2ара+ — а+ар — ра+а)
+ \KN{2а+ра — аа+р — раа+) , (10.4.2)
где
са' = со + S — 3'.
а) Диагональные матричные элементы Диагональный матричный элемент
(п\р\п)=Р(п) (10.4.3)
474
Глава 10
представляет вероятность того, что в системе имеется п квантов. Можно легко проверить, что (используя свойства операторов а + и а из разд. 10.1) из (10.4.2) получаем уравнение
д,Р{п) = K(N + 1)[(л + 1)Р(л + 1) - пР(п)]
+ KN[nP(n -1) - (л + 1)Р(л)]. (10.4.4)
Это обычное управляющее уравнение для процессов рождения — гибе ли. Заметим, что вероятности перехода имеют вид
t+(n) .= KN(n + 1) (10.4.5)
/-(л) = K(N + 1)л ,
так что вероятность рождения кванта имеет часть, пропорциональную п + 1. Химическая реакция вида
(10.4.6)
А + Х^2Х
имела бы подобное управляющее уравнение.
Стационарное решение указанного уравнения имеет вид
Л(«)= (Г|У (Ю.4.7)
Это обычное распределение Больцмана, в котором можно отождествить
j ~ схп(~й0)/кТ). (10.4.8)
Это означает, что
JV- 1/[ехр(Ясо/кТ) - 1]. (10.4.9)
Последнее равенство выражает N через Т или наоборот. Заметим,
что
^ = ^ (10.4.10)
D {л} s - ,VZ .
п) Уравнение Фоккера — Планка, следующее из Р-представления
Воспользуемся здесь Р-представлением Глаубера — Сударшана из разд. 10.2.2 и операторным соответствием (10.2.26) из разд. 10.2.3. Вспоминая, что при использовании операторного соответствия порядок в произведении операторов, стоящих справа от р, меняется на об-
Кван i овомеханические марковские процессы 475
ратный, получаем следующее уравнение для функции Р:
дР
dt
)iKWaa +
да*
+ itu'hf-a - Ли* + KN
да
да*
д2 ' дада*
(10.4.11)
Оно имеет вид уравнения для комплексного процесса Орнштейна — Уленбека. Мы можем положить в нем
а = х + \у и
да = КЗ* ~ '3,)
и получить уравнение для действительных переменных
дР dt '
KNijp_ jp дх2 + ду1
(10.4.12)
Этот результат имеет очень простой вид по сравнению с уравнениями Фоккера — Планка в представлении Пуассона, в которые всегда входят непостоянные диффузионные члены. Стохастические дифференциальные уравнения, эквивалентные уравнению (10.4.12), таковы:
dx -(?foc - a>y)dt + V\KN dW,(t) ^
dy = ~(\Ky + a/x)dt + dW2(t)
Эти уравнения, подобно уравнениям из разд. 5.3.6, представляют собой уравнения затухающего осциллятора.
Их часто записывают в виде одного комплексного уравнения Ланжевена
da= - (\К + io>’)adt + 'JKN dr,{t), (10.4.14)
где d-qit) — дифференциал комплексного винеровского процесса, удовлетворяющий равенствам
<^(/)> = <<*,*(/)> = (dnit) dn{t')y = (dn*(t) dn*(t')y =0 no 4 15)
(dn(t) dn*(t)} = dt.
Его можно записать в явном виде
dri(t) = [dW^t) + \dW2(t)\j^/2 . (10.4.16)
Обобщать теорию дифференциальных уравнений на случай комплексных процессов a(t), rj(t) не очень просто, и поэтому в дальнейшем мы их использовать не будем. Однако уравнение Фоккера — Планка для
476 Г лава 10
комплексной переменной оказывается полезным, и мы будем оперировать им в дальнейшем.
Решения уравнения для процесса Орнштейна — Уленбека даны в разд. 4.4.6. В нашем случае имеем
(а({)) = а(0) ехр[—(А72 + iw')/]
