Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(a j а+аа+ | /?> = (а | а+а+а + а+[а, а+] | /?> 1
= {а\а^а+а + а+|/?> (10.1.44)
= (««/?+«*)<«!/?>. J
Символ: :, в который заключено выражение, означает, что оно считается нормальным произведением. Например,
:(а 4- а+) (а + а+)\ = а+г + а2 + 2а+а . (10.1.45)
з) Пуассоновское распределение для числа квантов в случае когерентных состояний
Состояние Iп) известно как «состояние с п квантами», поскольку его энергия на величину/г/гш больше энергии вакуума 10), т. е. состояния с 0 квантами. Таким образом, вероятность, наблюдения п квантов в когерентном состоянии 1а) в квантовой механике равна
Рв(п)= !<« I «> 12 = [ехр (-$а2)^"=\2 (10.1.46)
! V и! |
е~'а,г\а\2я
~п\ (Ю.1.47)
и представляет собой распределение Пуассона со средним I or 12.
Поскольку число п соответствует собственному значению операто-
ра числа частиц N, мы имеем
(N) = <a|jV|a> = = i <аг |2 (10.1.48)
Кван i овомеханнческпе марковские процессы 457
(N2} = (а | а?аа+а | а)
= <а\а+а+аа + а+[а, а+]а|а)
= |«Г + 1«|2-
Следовательно,
(N(N-\)) = | а|4 = (N}2, (10.1.49)
как этого требует распределение Пуассона. Именно пуассоновская природа распределения вероятностей числа квантов обеспечивает связь с пуассоновским представлением.
10.2. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Обычная квантовомеханическая формула, определяющая среднее значение величины М в квантовом состоянии I ф>, имеет вид
<Л/> = (у/\М\у/У. (10.2.1)
Она относится только к тем экспериментам, в которых идентичное квантовое состояние измеряется неоднократно. Обычно, однако, вследствие случайного характера приготовления состояния — из-за неточности приготовительной аппаратуры — мы измеряем средние значения в каждом эксперименте в различных состояниях Поэтому
если каждое состояние в этом случае реализуется с вероятностью Р(а), что обусловлено не квантовыми эффектами, а просто случайным характером приготовления состояния, то измеряемое среднее дается формулой
<Л/> = ЕР(а)<^|Л/|^> . (10.2.2)
Введем теперь матрицу (или оператор) плотности р:
Р = И ; (10.2.3)
а
при ее помощи (10.2.2) можно записать как
<Л/> = Тг {рМ}. (10.2.4)
Мы ввели здесь операцию взятия следа Тг, определяемую для любого оператора В равенством
Тг{5} =Е<и|Я|и>, (10.2.5)
458 Глава 10
так что
1т{рМ) = Цр{о)(п\щаУ(у/а\М\пУ
л,®
= Е Р(а)(у/, | М| п) <л | у/ау
п,а
= 2}Р(аК\//в\М\у/.У
а
= <л/>.
Важным свойством операции взятия следа является ее инвариантность относительно циклической перестановки множителей:
Тг{/>М} =1т{Мр\, (10.2.6)
Tt{ABCD) = Tx{BCDA) и т.д. (10.2.7)
ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ:
1) Tr {/7> = 1 (10.2.8)
при
Tr Iа} = Е P.<V. I V.> = Е Ра = 1 ¦ (10-2-9)
а о
2) Матрица плотности р является неотрицательно определенной; для любого состояния IА)
(А | р \А) = 2 Р. | (А | Wa} Г1 > 0 . (10.2.10)
3) Если матрица р соответствует чистому состоянию, то р1 = р, и,
наоборот, для чистого состояния Ра = Ьа а при некотором а0; следо-
вательно,
Р2= Wa0y(Wa0\Wu0y(?,0\ =Р- (10.2.11)
С другой стороны, в общем случае имеем
Р2 = Т,Р°Рь\Ч'*>ШШ?ь> • (10.2.12)
Это выражение равно р, только если PaPbiVaWb} =0 при а ф Ь
Pl<w.\v.'> = Р..
Имеем
O-lvO = I •
Квап говомеханические марковские процессы 459
Следовательно,
Pj; = Р. => Ра ~ 1 или 0 ,
но, поскольку I]Ра — 1, только одна из величин Ра может быть равна единице, а остальные равны нулю, что отвечает чистому состоянию.
4) Trjp2! < Trip', знак равенства возможен только для чистых состояний. Принимая во внимание равенство
W} =?1РаРь\<ч>Ач>ь>\2
а,Ь
и вытекающее из формулы
К^к4>|2< 1 (10.2.14)
неравенство
? Рь! <УЯ I ?ь) 12 < 1 при любых а, (10.2.15)
ь
получаем
Тг{/>2} < ЕР. = Тг{/?}. (10.2.16)
а
Очевидно, что знак равенства в формуле (10.2.16) возможен только тогда, когда
