Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
10.1. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
Гармонический осциллятор мы будем описывать при помощи операторов рождения и уничтожения а + и а, удовлетворяющих коммутационным соотношениям
[а, а+] = аа+ — а+а = 1. (10.1.1)
Используя эти соотношения, можно показать, что собственные состояния I п > оператора а + а обладают свойствами
а+а\п) = п\п) п — 0,1,2,3, ... (10.1.2)
а\”> = -n/и 1« - 1> | П0.1.3)
а+\п) = у/п+1 \п + 1> J
И
<я|т> = 6т,„. (10.1.4)
Введем оператор N
N — а+а , (10.1.5)
известный как оператор числа частиц, поскольку, как это видно из
формулы (10.1.2), его собственные значения являются целыми чис-
лами.
Гармонический осциллятор задается гамильтонианом Н = (а+а + \)hw, где (10.1.6)
h = 2кЬ (Ю.1.7)
есть постоянная Планка, а ш — частота.
Собственными состояниями оператора Н являются, конечно, состояния 1«>, а соответствующие собственные значения этого оператора таковы:
Я. = (n + J)fcw. (10.1.8)
Квантовомсханические марковские процессы 451
Динамика вводится с помощью уравнения Шредингера. которое определяет эволюцию во времени любого физического состояния \А, t). Оно имеет хорошо известный вид
Н\А, Г) = >hd,\A, t) . (10.1.9)
Свойство ортонормированности (10.1.4) означает, что мы можем представить любое состояние в виде разложения по энергетическим собственным состояниям 1/г)
м. О = Е 1«> (п\А, />, (10.1.10)
и, следовательно, ihd. \А, /> — \h ? ! п)д;(п \А, г)
-Е#1"> <п\А,0 (Ю.1.1Г)
= Е (" + г)^ш\п'> (п\А, />,
л
так что
(n\A,t)= е~‘?»'/Л<л|Л, 0> (10 112)
= e_i<"+I/2)ffl' (п\А, 0> .
Таким образом, эволюция во времени любого состояния теперь полностью определена.
10.1.1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ
Проблема взаимодействия гармонического осциллятора с неквантованным внешним полем полу классическая. Не забираясь слишком глубоко в физику, мы просто постулируем, что этой задаче соответствует следующий модифицированный по сравнению с (10.1.6) гамильтониан:
Н(<*) = [(а+а + г) — (аа+ а*а) + \а\г]Ьш ; (10.1.13)
здесь а — комплексное число. Три части этого выражения можно рассматривать соответственно как энергию гармонического осциллятора, энергию взаимодействия между осциллятором и возмущающим полем и, наконец, (постоянную) энергию возмущающего поля.
Более удобно представить Н(а) в виде
Н(а) = Нш[(а - аУ(а - а) + 2L] . (10.1.14)
Очевидно, что операторы (а — а)+ и а — а обычно подчиняются тем же коммутационным соотношениям, что и операторы а+ и а, так как
452 Глава 10
а — просто комплексная постоянная. Следовательно, собственные состояния в энергетическом представлении будут иметь тот же самый вид, поскольку существование состояний Iп) следует только из коммутационных соотношений.
Уравнение (10.1.3) можно использовать для определения основного, или вакуумного, состояния 10) оператора а+ а при помощи уравнения
а 10> = 0 . (10.1.15)
Соответствующим уравнением для смещенных операторов (а — а)+ , (а — а) служит
а\а) = а\ос) ¦ (10.1.16)
Мы можем убедиться, используя (10.1.3), что решение этого уравнения для 1а> имеет вид
|«> =ехр(-Я«|*)?-?=|л>, (10.1.17)
л=0 V п\
где точный вид множителя ехр ( —— lal2) выбран так, чтобы вы-
Н ы2)
поднялось соотношение
0|а> = 1. (10.1.18)
Состояния 1а> были введены Глаубером [10.1] и известны как когерентные состояния. Когда гармонический осциллятор рассматривают в качестве модели поля излучения для одномодовой системы, когерентное состояние можно считать квантовомеханическим состоянием, приближающимся к классическому состоянию.
Собственными состояниями гамильтониана Н(а) в энергетическом представлении теперь являются состояния I п; а>, которые имеют те же свойства, что и (10.1.2 — 4), но записываются через смещенные операторы (а — а)+ и (а - а).
10.1.2. СВОЙСТВА КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИЙ
Перечислим важнейшие свойства, доказательства которых приводить не будем, если результат получается простой подстановкой определений.
а) Определение:
Квантовомеханические марковские процессы 453
б) Скалярное произведение:
