Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(10.5.18)
которые образуют базис в пространстве матриц размерности 2x2. Это свойство непосредственно обобщается на произвольную размерность пространства.) Следовательно, при выборе pinit в виде (10.5.17) гипотеза (10.5.14) приводит к результату (10.5.15), являющемуся квантовой теоремой регрессии.
О О 1 i' Г i in
о
о о 5 г ) i i- > 1
0 м-
1
10.5.2. ПРИМЕНЕНИЕ К ГАРМОНИЧЕСКОМУ ОСЦИЛЛЯТОРУ В Р-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Рассмотрим сначала нормально упорядоченную временную корреляционную функцию
(a+(t + т)а(0> = Тг {a+eLza J d2a Р(а, 0|«> <« I} (10.5.19)
= Tr{a+e?l J d2a аР(а, f)|a><a|} •
Множитель
e?l J d2a aP(a, f)|a><a|
является решением обобщенного управляющего уравнения: начальным условием для него служит оператор, который в P-представлении имеет плотность аР(а, t). Если существует уравнение Фоккера — Планка (например (10.4.11), (10.4.21)), соответствующее оператору/, то этот множитель является матрицей плотности с Р-функцией вида
J d2a'a'P(a, t + z\a',t)P(a', t).
(10.5.20)
486 Глава 10
Поэтому, используя циклические свойства операции взятия следа и свойство < а I а + = а * (а I, получаем
<a+(t + т)а(0) = Тг{а+ J d2ad2a'a'P(a, t + т\а, t)P(a', 0|а)<а|)
= f d2ad2a'a*a'P(a, t + т; a't) .
Это означает что,
(a+(t + т)а(0> = <а*(( + х)а(ф,
(10.5.21)
где a(t) — стохастическая переменная в Р-представлении^. Аналогично для любой функции операторов а + и а имеем
(/^(t + т)]Р2[а(г)]> = (F,[a4t + т)]Р2[а(/)]> •
(10.5.22)
В случае произведений операторов, не являющихся нормально упорядоченными, результат не будет таким простым.
Рассмотрим, например, выражение
ч'а+(/ -f- т)a{t 4- т)а+(!)а(ф = Тт{а+а е?та+а | d2aP(a, /)|а)<а|) ; (10.5.23)
Используя операторные соответствия (10.2.26) из разд. 10.2.3, имеем
(10.5.23) = Тг
а+а e?t J d2a
да
аР(а, /)| |а><а|
(10.5.24)
Действуя по аналогии с предыдущим^ находим
(10.5.23) = Тг \а+а / d2a / d2a'P(a, / + т j a', t)
да'
-\a'P(a,t)
l«X«l .
(10.5.25)
11 Квантовые марковские процессы, рассматриваемые в книге, не могут быть применены для описания равновесных квантовых процессов, соответствующих определенной температуре, даже если в неквантовом пределе эти процессы марковские. В самом деле, используя (10.5.21, 34) и технику (10.5.24 — 29) или применяя к рассматриваемому демпфированному осциллятору квантовую теорему регрессии, можно получить
<tf+(0<7(0)> = Nexp(-K 1/1 /2 + \w't),
<а(0)<7+(0> = (N + l)exp( —ЛГ!г!/2 + i ш'г),
где t любое. Эти равенства не согласуются с известной теоремой (см. например, [10.10*, с. 18]), согласно которой в случае термодинамического равновесия, соответствующего температуре Т = (вк) 1, равновесные средние должны удовлетворять соотношению
<B(0D> = (DB(t + Щ)) = ехр (ШАЭ/8Г)<ОЙ(0>.
Здесь операторы B(t), D любые, в том числе B(t) = а+ (/), D = а (О). — Прим. ред.
Квантовомеханические марковские процессы 487
Наконец, еще раз используя операторные соответствия, получаем (10.5.23) = J d2ad2a' Г - А) аР(а, 1 + т\ а', /)J («'* - А) а'Р(а', t)
(10.5.26)
Для упрощения этого выражения мы можем опустить член, содержащий д/да, оператор д/да' слева, поскольку при интегрировании он обращается в нуль, и проинтегрировать д/да по частям, что дает
(10.5.26) = f d2ad2a'(a*a)(a'*a')P(a, t + т; a', t) (10.5.27)
+ J d2a!P(a , Oa'g^Aj d2a(a*a)P(a, t + rja, /)]. (10.5.28)
Результирующая формула имеет вид
<а+(/ + т )a(t + r)a+(t)a(t )> = <|а(/ + т)|2|а(0|2>
Э (10.5.29)
+ <а'^<|а(/ + т)|2|[а',/]».
Этот результат аналогичен результату (7.7.76) для представления Пуассона. В самом деле, если Р-функция зависит только от lal2 и la' I2, то эти результаты после замены ! а 12 (P-представление) на а (представление Пуассона) будут идентичны.
Большой интерес для измерений представляет корреляционная функция
(a+(t)a+(t + r)a(t + т)a(t)> = G2(r, t) .
(10.5.30)
Как показал Глаубер [10.1], именно она определяется в экспериментах по измерению корреляции интенсивностей света, попадающего на детектор в различные моменты времени.
Используя формулу (10.5.12), запишем
G2(т, t) = Tr [а+а еСтара+). (10.5.31)
что после рассмотрения, аналогичного предыдущему, принимает вид
G2(r, 0 = J d2ad2a \ а2 \ \а’2\Р(а, t + т; a', t) = <!«(' + 0|2|а(/)|2> •
(10.5.32)
Этот особенно простой результат означает, что измеряемая корреляционная функция интенсивности G2(т, t) тождественна корреляционной функции для переменных P-представления, но не совпадает с выражением (10.5.29).
488 Глава 10
