Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем сначала, как свести непрерывный по времени канал, изображенный на рис. 8.5.1, к множеству параллельных дискретных по времени каналов с аддитивными гауссовыми шумами. Тогда могут быть непосредственно применены результаты § 7.5. Затем рассмотрим более трудную задачу о переходе к пределу при Т -*¦ оо и условии Т = Т0. Окончательные результаты будут те же самые, как и в § 8.3. В дальнейшем будем предполагать, что
Г lEliHLdfCoo, (8.5.1)
JN(f)
— оо
а также, что или j N(f)df < оо, или что шум белый (т. е. N(f) не зависит от /).
Одним из недостатков развиваемого здесь подхода является предположение о том, что вход равен нулю вне интервала (—772, Т/2). Другими словами, когда здесь будет использоваться кодовое ограничение длины Т, то не будет учитываться межсимвольная интерференция между последовательными кодовыми словами. Это не приводит к каким-либо трудностям при рассмотрении обращения теоремы кодирования, так как легко показать, что межсимвольная интерференция не может уменьшить вероятность ошибки. Также не возникают трудности при доказательстве того, что сколь угодно малая вероятность ошибки может быть достигнута при любой скорости, меньшей пропускной способности, так как в принципе можно передавать только одно кодовое слово сколь угодно большой длины. Кажется также, что межсимвольная интерференция не уменьшает показатель экспоненты вероятности ошибки в пределе, когда Т становится большим, однако до сих пор это строго не доказано. Интуитивные соображения состоят в следующем. Если при некотором малом е > 0 отделить кодовые слова длительности Т в канале защитным интервалом Т1-Е, то в пределе при Т -> оо отношение защитного интервала к длине кодового слова стремится к 0. Вместе с тем вклад в энергию на любом наблюдаемом интервале, вносимый кодовыми словами из других интервалов, стремится к нулю при Т оо и, следовательно, этот вклад не должен влиять на вероятность ошибки*).
В § 8.4 было показано, что гауссов шум с интегрируемой и конечной спектральной плотностью N(f) может рассматриваться как результат прохождения белого гауссова шума единичной спектральной плотности через (нереализуемый) фильтр с частотной характеристикой УN(f) и импульсным откликом
gi(t)= \YW)^*ndf. (8.5.2)
Так как N(f) — четная функция /, то g^t) — действительная функция, и так как УN(f) интегрируема в квадрате, то gi(t) также интегрируема
*’> Это утверждение справедливо при выполнении некоторых условий на скорость затухания межсимвольной интерференции. (Прим. ред.).
424
в квадрате. Если шум белый со спектральной плотностью NJ2, то фильтр g^t) можно рассматривать как умножитель, усиливающий вход в У NJ2 раз.
Разобьем умозрительно фильтр H^f) на две части, одну с частотной характеристикой Яг (/)/]/N(f) и другую с частотной характеристикой У N(f) (рис. 8.5.2). Опять, если N{f) = NJ2, второй фильтр следует рассматривать как умножитель. Если Яг(/) и N(f) равны нулю для какого-либо /, то положим, по определению, Нх(/)/]/ N(f) равным нулю в этой точке f. Читателю со слабым радиотехническим образованием было бы полезно проверить, что частотная характеристика двух после-
Белый „ со спектральной плотностью f
x(t)
Т
2
Г
2
Н-
То
л
Z
Рис. 8.5.2. Эквивалентное представление рис, 8.5.1.
довательных линейных инвариантных во времени фильтров действительно равна произведению частотных характеристик. Обозначим импульсный отклик фильтра Я^/)/]/"N(f) через
Ki{t)^]~wk^Udf- (8-5-3)
Функция Ki(t), подобно gi(0, действительная и интегрируема в квадрате.
Вход х(х) и выход r(t) первоначального фильтра связаны в терминах новых фильтров Ki(t) и gi(t) соотношениями
^i) = I giik — t) u(t)dt, (8.5.4)
u(t) = J Ki{t — t) x (%)di. (8.5.5)
Так как u(t) и белый шум (рис. 8.5.2) фильтруются одним и тем же фильтром и затем складываются, то систему можно представить в виде,
указанном на рис. 8.5.3, где белый шум непосредственно добавляется к u(t) и затем результат фильтруется с помощью gx(t). Хотя канал, изображенный на рис. 8.5.3, выглядит совсем отличным от канала на рис. 8.5.1, они тождественны в том смысле, что выходная функция y(t) в обоих случаях равна сумме r(t) и гауссова шума со спектральной плотностью N(J)\ пока мы основываемся на том, что приемник наблю-
425
дает только y{t), эти рисунки можно использовать на равных основаниях.
Для того чтобы использовать разложения последнего параграфа, удобно заменить инвариантные во времени фильтры рис. 8.5.3 на ме-
