Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
i_ оо
2 xj = 1 = 2 у}-
/= 1 /=»
Отклики фильтров Ko(t, т) и K(t, т) на х(х) задаются соотношениями
-о (t) = [х (т) Ко (t, т) dx = 2 Xj Yh (0. (8.5.51)
oo (8.5.52)
u{t) = \x (т) К (t, x) dx = 2 У] V rij (0-
j = i
5 ul (t) dt= 2 A Xj > X/ 2 A = (8.5.53)
d /=i /=i
OO 00 (8.5.54)
§ u2 (t) dt = 2 у! 2 */? = И-i-
i---i i---‘
Для /Со, задаваемого равенством (8.5.13), u0(t) является проекцией u(t) на пространство, порожденное {’&j,g(0} и, следовательно, J u\(t)dt scC J u2(t)dt. Для Ко, задаваемого равенством (8.5.14), u0(t) равна u(t), усеченной вне интервала (—Т012, Т0/2), и справедлив тот же самый результат. Сочетая этот результат с (8.5.53) и (8.5.54), имеем < иг. |
Для простоты предположим теперь, чть выходной интервал Т0 равен входному интервалу Т. Обозначая через Xt(T) и ИгОО собственные значения фильтров K(t, т) и Ko{t, х) соответственно, мы хотим по-
435
\ (х) х (х) dx. (8.5.50)
казать, что (1 IT) 2 Яг(Т) стремится к (1/Т)2ц;(Т) в пределе при Т -> оо. Ключом к этому результату служит следующая лемма, которая является небольшим обобщением результата Келли, Рида и Рута*).
Лемма 8.5.5. Пусть для функции g^t) из L2
, . — ts^TI 2,
gT T) '{ 0 ; t > 772,
т. e. g>(/, т) представляет фильтр g^/) с выходом на временном интервале (—772, Т/2). Пусть {фг,г(х)}—входные собственные функции фильтра gr (t, х) в смысле теоремы 8.4.1. Пусть Тг > 0 и хх удовлетворяют неравенству
Т>Т1 + 2|х1|. (8.5.55)
Тогда, если функция v(x) ортогональна к т(х + хх) при всех i, то v(x) также ортогональна к Tl(x) при всех i. Кроме того, если и(х) разлагается в виде
»(x) = H»i,r#i,rW + ^jW; vi'T = (v,®i,T) (8.5.56)
i
и если преобразование Фурье v(x) равно нулю всюду, где преобразование Фурье gx(t) равно нулю, то
lim vr,T (х) 0. (8.5.57)
Т —> оо
В сущности, лемма устанавливает, что когда Т неограниченно возрастает, произвольную функцию можно представить все лучше и лучше с помощью множества функций {#г,г) или временных сдвигов т.
Доказательство. Если и(х) ортогонально к Т(х + х2) при всех i,
то
j v(x — х2) От (x)dx = 0 при всех i.
В силу (8.4.15) это означает, что
I gi(t — Ф(т — xi)dx = °; \tI < т/2.
Подставляя т2 = х — хх и t2 = t + хх, получаем
I gi(t2 — x2)v(x2)dx2 = 0; 112 — Xj | < T/2. (8.5.58)
Из (8.5.55) вытекает, что (8.5.58) должно удовлетвориться для U2I Тг/2, и, используя утверждения (8.4.15) в обратном направлении, находим, что и(х) ортогональна к т, (х) при всех х.
Далее покажем, что tv, г (х) -> 0 при Т -> оо. Так как по определению IV, г(х) ортогональна к ®ij(x) при всех i, то, используя (8.5.56), получаем
5 tv, т (х) v (х) dx = ^ v2rtT(x)dx = || tv, т ||2. (8.5.59)
Kelly, Reed, Root. «The detection of Radar Echoes in Noise, 1» Jour.
Siam, 8. (2), June 1960 (см. приложение A).
436
Для Т > Тх также получаем, что vr< т-(т) ортогональна к ft,-, j-Дт) при всех i. Используя 7\ вместо Т в (8.5.56) и подставляя это выражение в (8.5.59), получаем
^ Vr, г(т) tv, г, (t) dx --= II vr,T II2. (8.5.60)
Применяя неравенство Шварца к левой части (8.5.60), видим, что
II Vr, Г || ^ II Vr, Г, ||; Тг^.Т.
Следовательно, ||tv, г|| убывает с Г и должна~стремиться к пределу. Наконец, используя (8.5.59) и (8.5.60), имеем
S [Vr.T, (x)-Vr,T(x)]* dx = \\Vr, 7-, ||2-|| Vr, T II2. (8-5'61)
Так как |]yr> j-|| стремится к пределу, то предел правой части (8.5.60) при Т и Тъ стремящимся к оо, равен 0. Поэтому vTi j-(t) сходится к предельной функции ** vr% то(т) и эта предельная функция ортогональна к "в/, г(ъ) при всех i и всех Т. Однако, в силу (8.4.15), это означает, что
§?х(/ — т) vr,ос (т) dx = 0 при всех t. (8.5.62)
Взяв преобразование Фурье от (8.5.62), находим
VN(f)VrtBO(f) = 0 при всех /.
По предположению VT, м(/) = 0, когда У N if) равно 0; следовательно, Ут, с»(/) = 0 и соотношение (8.5.57) установлено. |
Лемма 8.5.6. Пусть (Д,;(Т) и А,г(7)— собственные значения соответственно фильтров Kr(t, т) и К0, r{t, т), где Kr{t, т) равно Ki(t — т), усеченному вне |т|<1772, и Ко,т{?, т) задается равенством (8.5.13) или (8.5.14) при Т0 = Т. Тогда’
