Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Последний вопрос, на который теперь следует ответить, состоит в том, как Хп зависит от п, W и Т. Изменяя масштаб времени в (8.4.10) и (8.4.62), видим, что Хп зависит только от л и от произведения WT, и мы будем писать Xn(WT) для того, чтобы подчеркнуть эту зависимость. Слепян (1965) показал, что если для каждых п и WT ввести число а, определяемое равенством
где п в (8.4.69) для каждого WT таковы, что а лежит в ограниченной области, не зависящей от WT.
Графическое пояснение этой зависимости приведено на рис. 8.4.2. Основное, что здесь следует отметить, это то, что для п 2WT + 1 имеем Хп да 1 и для п > 2WT + 1 имеем Хп = 0. Переходная область между этими экстремальными значениями имеет ширину, пропорцио-
tl
Jul(t)dt
п = 2WT+ 1 + — In (4nWT),
я2
(8.4.68)
то
(8.4.69)
421
нальную \n(AnWT). Ё частности, для любого фиксированного е^> б эти равенства означают, что
(8.4.70)
(8.4.71)
h2WT (1 _|_е) (WT) — 0, _еДГТ) = 1.
WT-* оо
lim К
WT-+0O
2WT (1-е)
Следовательно, если используется множество функций на (—Т/2, Т/2) с 2WT(\ + е) степенями свободы, то для произвольно больших WT некоторые из этих функций будут иметь в полосе ¦—W ^ ^ ис-
чезающе малую долю энергии. Обратно, при 2WT(l — е) степенях свободы минимум доли энергии в полосе —W ^ ^ W, взятый по
всем функциям в классе, будет сходиться к 1 при неограниченном возрастании WT.
¦ 1п(4яи/г)
А А к л
ТТ
\
Л,Л
___LL
J_U
1'Ч
Рис. 8.4.2. Поведение собственных значений (8.4.60) при больших WT.
Последняя особенность функции вытянутого сфероида, которая сейчас будет показана, состоит в том, что ф;(т) и 0г(/) с точностью до масштаба являются преобразованиями Фурье друг друга. Используя ад из (8.4.57), для того чтобы получить ограничение по времени, можно переписать (8.4.66) следующим образом:
У*.,
•0| (г) Их
2Гт
(8.4.72)
Взяв преобразование Фурье от обеих частей (8.4.72), получим
Ф i(h)-
2 W У к
T(h-fi)
2W
dfx. (8.4.73)
Подставляя (8.4.65) в (8.4.73) и используя то, что ^(т1; т2) = = ^i(T2 — Ti) Для 1^1, |т2[ < Т/2, это равенство приводим к виду
W
©г (/г):
2WX
(т
2W
Tft 2W
dfx. (8.4.74)
Наконец, изменяя масштаб /х и f2 в 2W/T раз, видим, что © i(2Wf/T) 422
удовлетворяет тому же самому интегральному уравнению (8.4.10), что и ф;(т). Так как его решения единственны с точностью до множителя, то, используя нормировку и то, что нумерация функций 0г(О несущественна, получаем
©I =±\/ fp? (Л (/—Л‘~ ‘ • (8.4.75)
Из (8.4.75) видно, что 0г(О не стремится ни к синусоидам, ни к от-счетным функциям на интервале (•—772, Г/2), когда Г становится большим. Это, в свою очередь, объясняет, почему эвристические соображения, приведенные в § 8.3, не могут быть без большого труда сделаны точными.
8.5. КАНАЛЫ С АДДИТИВНЫМ ГАУССОВЫМ ШУМОМ
И СИГНАЛАМИ НА ВХОДЕ, ОГРАНИЧЕННЫМИ ПО МОЩНОСТИ
И ПО ЧАСТОТЕ
В этом параграфе результаты, полученные в предыдущем параграфе, используются для того, чтобы получить строгое решение задач, рассмотренных в § 8.3. Канал изображен на рис. 8.5.1. Вход x(t) рассматривается на временном интервале (—Г/2, Г/2) и проходит через линейный инвариантный во времени фильтр с импульсным откликом /ii(т) и частотной характеристикой Н$) — J h^x) е~‘2л!х dx. Стационарный гауссов шум с нулевым средним и спектральной плотностью N{f) добавляется к выходу фильтра и результат наблюдается на интервале (—Г0/2, Г0/2). Вход x(t) ограничен по мощности величиной S.
z(t); спектральная плотность A' (f)
'JL II'
? о
Рис. 8.5.1.
В обращении теоремы кодирования под этим будет пониматься, что математическое ожидание величины
Г/2
§ х2 (t) dt
— Г/2
не более ST. Для теоремы кодирования будет использоваться более сильное ограничение
Г/2
5 Хт (t) dt^.ST
-Г/2
для каждого кодового слова.
4?3
x(t)
Г
'2
К:
