Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
" i=m+1 /'='«+1
ОО
+ U(/) ^ajtg^hg{t)dt. (8.5.28)
J i = rn-\-1
Первое выражение в правой части (8.5.28) может быть оценено с помощью неравенства Шварца
§«о(0 2 ^i}^i,g(t)dt < \ul(t)dt jj 2 «иФ;,*(0
/=т+1 J L J L/=m+1
430
2
=¦ К ul (t)dt] 2 at,. (8.5.29)
В силу ортонормальности функций множества {6г(/)} из (8.5.21) еле-
оо оо
дует, что 21«// = 1, и поэтому lim «?/ = 0. Так как u0(t)
/= 1 т-+оо /=т+1
имеет конечную энергию, то из (8.5.29) вытекает, что
lim
т -> оо
Л оо
\«о(0 2 ^u^i,g^)dt
J J=m+1
2
= 0. (8.5.30)
Аналогично, последнее выражение в правой части (8.5.28) является гауссовской случайной величиной с нулевым средним и дисперсией
оо
/ = т + 1
Таким образом, это выражение сходится в среднем квадратическом к нулю при оо и
m
lim
m-+oo
что завершает доказательство. |
, Заметим, что в (8.5.30) не утверждается существование
00 п ¦
lim 2 vr^-0'-^
m-> со I/ Л;, гг
7 = I
и в действительности эта функция не существует в общем случае. Это означает, что в общем случае уг- не могут быть вычислены точно по y(t) с помощью лишь корреляционной операции, хотя они могут быть аппроксимированы с помощью этой операции сколь угодно точно.
Как было показано, модель параллельного канала на рис. 8.5.7 эквивалентна модели канала на рис. 8.5.1. Теперь можно применить теорему 7.5.1 для определения максимума средней взаимной информации и теорему 7.5.2 для определения верхних границ минимальной достижимой вероятности ошибки при любой заданной длительности Т на входе и интервала наблюдения Т0. Ограничение на энергию ё в этих теоремах должно быть заменено на ST, а дисперсии шума of — на 1/Л,*.
Далее исследуем поведение собственных значений Я,г в пределе, когда Т и Т0 стремятся к оо. Проведем это с помощью ряда лемм, сначала исследуя предельное поведение собственных значений |лг фильтра K(t, т) и затем устанавливая связь между множеством {ц;} и собственными значениями Яг фильтра Ko{t, т). Читатель при первом чтении может опустить доказательства. Для заданного интервала Т соб-
431
ственные значения }хг (обозначаемые в дальнейшем, как р*(Т)) являются решениями интегрального уравнения [см. (8.4.10) и (8.4.56)]
Т/2
^ ^ {x1—x2)$i(r2)dT2 = \ii(J') -Oj (fj); — Г/2 772, (8.5.32)
—г/2
где
Л (т) = j' е'2я'т df• (8.5.33)
Поведение множества собственных значений {^(Т)} в пределе при Т —>- оо было исследовано Кацем, Мардоком и Сеге (1953). Полученный ими результат формулируется в нижеследующей лемме и читатель, интересующийся доказательством, должен обратиться к книге Гренандераи Сеге(1958).
Лемма 8.5.2. Пусть $(т) — действительная функция, преобразование Фурье которой действительная интегрируемая ограниченная функция F(f). Для любого Т > 0 обозначим через NT(a, Ь) — число собственных значений уравнения (8.5.32), удовлетворяющих неравенствам а ^ Рг(Г) < Ъ. Тогда, если а и Ъ одновременно положительны (или отрицательны), и если множество точек /, для которых F(f) = = а или F(f) = b имеет меру нуль (т. е. если F(f) не равна а или b на некотором ненулевом интервале), то
lim NT (а, Ь) = ^ df- (8.5.34)
Т-wo Т f'.a.C F(f)<b
Заметим, что (8.5.34) представляет собой как раз тот результат, который нужен, когда собственные функции (8.5.32) аппроксимируют рассмотренное в § 8.3 множество синусов и косинусов, разделенных по частоте 1/Т.
Для приложений интересно не число собственных значений в данной области, а асимптотическое поведение суммы функций от собственных значений. Следующая лемма относится к этой задаче.
Лемма 8.5.3. Пусть Л(т) — корреляционная функция с собственными значениями ^(Т), определяемыми уравнением (8.5.32), и пусть F(f)^0—преобразование Фурье J?(t). Предположим, что F(f) интегрируема и ограничена. Пусть g(x) — неубывающая функция х, определенная для х^О, и g(0) = 0. Пусть кроме того g(x)—функция с ограниченным наклоном, удовлетворяющая для некоторого фиксированного числа В и всех хг >0, х2 >0 неравенству |g(*i) — ё(хг) I < В I xi — хъ\- Тогда
Ига 4: S g (Р/ (?’)) J g [F (/)] df. (8.5.35)
