Теория информации и надежная связь - Галлагер Р.
Скачать (прямая ссылка):
g(t, т)=р1^~т): 1'1<То/2’ (8.4.34)’
1 0 ; |*|>Т0/2.
• Независимо от того, удовлетворяется (8.4.34) или нет, будем предполагать, что g(t, т) интегрируема в квадрате. Пусть Ф;(т), 0г(О и — соответственно собственные функции на входе, собственные функции на выходе и собственные значения фильтра g(t, т) в смысле теоремы
8.4.1. Пусть п(т) представляет собой выборочную функцию белого гауссова шума с единичной спектральной плотностью. Напомним, что, как это следует из предыдущего рассмотрения белого гауссова шума, эта выборочная функция п(т) не является вполне определенной функцией времени, однако по предположению действие п(т) на линейный
фильтр вполне определено. Таким образом, положим, что z(t) — выход
фильтра g(t, т), соответствующий входу п(х):
z(t) — J g(t, т) n(x)dx, (8.4.35)
Определим также щ и zL равенствами
rii — f n(x)q>i(x)d,T, (8.4.36)
Zi =\z{t)Qi{t)dt. (8.4.37)
Из (8.1.41) видно, что nt— статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Величины Zi и nt могут быть связаны с помощью подстановки в (8.4.35) разложения для g(t, х), задаваемого (8.4.23)
z(0= §21К ’ki(pi(x)Qi(t)n(x)dx = 21/%iniQi(t) + i /-1
со
+ \ 21 У К Фг (т) 0г (0 я (т)dx- (8-4 -38)
/ = L+ 1
Теперь обозначим остаточный член в (8.4.38) через zL(t) и положим
00 г—
&.(*>т)= 2 V К Фг (т) 0г (0>
« = ?.+ 1
ZL (0 = S 8l (*’ Т) п (r)dr• (8-4 -39)
Из (8.1.47), подставляя gdt, т) вместо h(t — г), имеем
Zl (t) = gi {t, х) dx.
415
Так как gi(t, х) стремится к 0 с возрастанием L в смысле предела в среднем,то
Jim ^zfJijdt^O. (8.4,40)
L—> оо '
В силу того, что zi(t) неотрицательна, из (8.4.40) следует, что lim z\ (t) = 0 почти всюду с вероятностью 1. Следовательно, z(t) можно представить в виде
2(0 = 2 YK щ 0| (0 = 2 2,0, (О, (8.4.41)
/ = 1 / = 1
2,= 1/М,. (8-4.42)
Так как tit — независимые случайные величины с дисперсией 1, то z, — независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними, удовлетворяющие соотношению
i^=-.6,7-V (8.4.43)
Разложение z(t) в (8.4.41) известно как разложение Карунена — Лоэва. Мы видим, что функции 9,(0 особенно удобны для представления z(t) по двум причинам. Во-первых, они ортонормальны, и, во-вторых, случайные величины z, статистически независимы.
Заметим, что мы не показали, что множество функций 0,(0 полно, а показали лишь, что оно достаточно полно для того, чтобы представить выход фильтра g(t, т) после прохождения через него белого гауссова шума. Покажем теперь, что если g(t, т) ограничено во времени согласно (8.4.34), то множество 9,(0 является полным на интервале (-Т0/2, Т0/2).
Предположим, что функция v(t) интегрируема в квадрате, отлична от нуля только в интервале (—Т0/2, Т0/2) и ортогональна ко всем 0,(0- Тогда из (8.4.19) получаем
J g(t,x)v(t)dt = О,
I gi(t — T)v(t)dt = 0. (8.4.44)
Полагая, что G^) и V(j) — преобразования Фурье g1 и v, и применяя теорему о свертке, получаем из (8.4.44)
Gl(f)V(f) = 0,
V(f) ==0; f :G(f) Ф 0.
Далее покажем, что V(f) — аналитическая всюду функция / и, следовательно, равенство V(f) = 0 на любом интервале, где Gi(/) Ф 0 означает, что равны нулю все члены в разложении V{f) в ряд Тейлора в окрестности какой-либо точки этого интервала; это, в свою очередь, означет,, что V(f) = 0 всюду. Имеем
Т0!2 го/2
V(/) = \ v{t)e~i2n,i dt, Г —j2ntv{t)e-W{dt,
Т I9 df J
— То!2 —Г,#2
Так как v(t) интегрируема в квадрате, то dV(f)/df существует и конечна для всех комплексных f. Следовательно, V(f) аналитическая функция и v(t) = 0 почти всюду.
Автокорреляция выходного процесса, т. е. функция z(t1)z(t2), может теперь быть найдена с помощью (8.4.41)
Изменяя порядок суммирования и усреднения и используя (8.4.43), получаем
Эти равенства справедливы в обычном среднеквадратическом смысле.
В этом месте можно вновь рассмотреть предыдущее изложение, начиная с предположения, что z(t) — выборочная функция или усеченная выборочная функция произвольного гауссовского случайного процесса с нулевым средним и автокорреляционной функцией $0(tlt t2). В предположении, что *2) интегрируема в квадрате, можно поло-
