Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
условиями, которые заключаются в следующем: функция U и ее первые
производные должны быть конечны, однозначны и непрерывны во всем
пространстве и обращаться в нуль на бесконечности.
Предположим, что ньютонов потенциал U задан. Сила, испытываемая телом
(материальной точкой) с весомой массой (т) в поле тяготения с потенциалом
U, равна
F = (т)вео ' grad U- (50.05)
С другой стороны, согласно уравнениям движения Ньютона, мы имеем
(т)Ии • w = F. (50.06)
Поэтому
(")"" • w = О")**,' Srad и- (50.07)
Согласно обобщенному закону Галилея, движение тела в заданном поле
тяготения не должно зависеть от его массы. Поэтому отношение инертной
массы (/га) к весомой массе (т)вео для всех тел одно и
то же, т. е. представляет универсальную постоянную, значение которой
может зависеть только от выбора единиц для инертной и весомой массы. При
общепринятом выборе единиц будет просто
(")"" = (т)зес = М> (50-08>
т. е. инертная и весомая масса друг другу равны.
Равенство инертной и весомой массы есть факт настолько привычный, что
воспринимается обычно, как нечто само собою разумеющееся. Однако дело
обстоит не так просто: это равенство представляет особый и очень важный
закон природы, тесно связанный с обобщенным законом Галилея.
Вследствие равенства массы инертной и массы весомой уравнения движения
w = grad U (50.09)
имеют универсальный характер, что и является выражением обобщенного
закона Галилея.
232
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл. V
Заметим, что уравнения движения (50.09) могут быть получены из
вариационного начала
Это послужит нам указанием при построении теории тяготения.
§ 51. Квадрат интервала в ньютоновом приближении
Явление всемирного тяготения требует расширения рамок той теории
пространства и времени, которая составляла предмет предыдущих глав.
Необходимость такого расширения видна из следующих соображений.
Из уравнения распространения фронта волны, написанного в виде
вытекает прямолинейность распространения света. Но свет обладает
энергией, а по закону пропорциональности между массой и энергией всякая
энергия неразрывно связана с некоторой массой; следовательно, свет
обладает массой. С другой стороны, по закону всемирного тяготения всякая
масса, находящаяся в поле тяготения, должна испытывать действие этого
поля; ее движение не будет в общем случае прямолинейным. Поэтому следует
ожидать, что и луч света в поле тяготения не будет прямолинейным *).
Отсюда вытекает, что в поле тяготения уравнение распространения фронта
волны должно несколько отличаться от написанного выше. Но, как мы видели
в предыдущих главах, уравнение распространения фронта волны является
основной характеристикой свойств пространства и времени. Отсюда следует
вывод, что наличие поля тяготения должно влиять на свойства пространства
и времени. Такой вывод и делается в теории тяготения к построению которой
мы приступаем.
Как было показано в главе I, уравнению распространения фронта волны в
форме (51.01) соответствует, при некоторых добавочных предположениях,
следующее выражение для квадрата интервала:
Влияние поля тяготения на свойства пространства и времени должно
сказываться в том, что коэффициенты в уравнении распространения фронта
волны и в выражении для квадрата интервала будут отличаться от постоянных
значений, даваемых формулами (51.01) и (51.02). Нам надлежит установить
приближенный вид выражения для квадрата интервала в поле тяготения с
ньютоновым потенциалом U. Мы будем опираться
(50.10)
ds1 = с2 dt'2 - (dx2 -f- dy ' -f- dz2).
(51.02)
*) Теория отклонения луча света в иоле тяготения дана ниже, в § 59.
КВАДРАТ ИНТЕРВАЛА В НЬЮТОНОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
233
при этом на обобщенный закон Галилея. Тот фундаментальный факт, что закон
движения свободного тела в поле тяготения имеет универсальный характер и
не зависит от свойств тела, позволяет найти связь между этим законом
движения и метрикой пространства-времени.
В § 38 мы изучали уравнения геодезической линии в пространстве-времени с
данной метрикой. Мы можем попытаться подобрать метрику так, чтобы
уравнения геодезической линии приближенно совпали с ньютоновыми
уравнениями движения свободного тела в заданном поле тяготения. Успех
этой попытки позволит ввести гипотезу о том, что в пространстве-
времени с данной метрикой свободное
тело (материальная точка) движется по геодезической линии, и тем самым
установить искомую связь между законом движения и метрикой.
Уравнения геодезической линии могут быть выведены, как мы знаем, из'
вариационного начала
8jds = 0. (51.03)
Если квадрат интервала имеет вид (51.02), то будет
ds = Vcq - 4Pdt, (51.04)
и при малых скоростях
dsz=(c - ^jdt. (51.05)
Подстановка в вариационное начало (51.03) выражений (51.04) и
(51.05) для ds дает движение с постоянной скоростью, т. е. свободное
движение при отсутствии поля тяготения. Предположим теперь, что при малых
скоростях и слабых полях тяготения (U <^с2) выражение для интервала имеет
вид
ds =]/> - 2U - v>dt (51.06)
