Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
S/^V7"3) = /""Р У7*3, (48.06)
так как F"g не варьируются, а варьируются только Fпоскольку они связаны с
F^ соотношениями
Fa? _ g^g^Fy,,, (48.07)
содержащими gr,. Вычисление дает
Fa? = 2F^gx., оgb = _ 2F'zF'*^ 8^.,. (48.08)
Так как
= (48.09)
то мы получаем
-=8(F"^P/'=i) =
V -g
= ( - 2F^F°*gt-> + j FafiF'tgv) 8gy., = 8*№ 8^, (48.10)
222 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ t(tm). IV
где (/pv есть выражение (46.22) для тензора энергии электромагнитного
поля.
Формулы (48.03), (48.05) и (48.10) дают для добавочного члена в вариации
интеграла действия выражение
- g(dx). (48.11)
Но, согласно (46.32), выражение в скобках под интегралом есть умноженный
на с2 тензор массы системы, состоящей из частиц и поля
c27'p' = !i.*uH-u'- + №\ (48.12)
Таким образом, выражение для тензора массы получается само собою, путем
варьирования интеграла действия по составляющим фундаментального тензора.
Полная вариация интеграла действия по всем входящим в него функциям равна
35 " J [ X V - g(dx) -
- J (рЧ + ~ F^'J) V^gidx) +
+ .f (-+ ^V^g(dx). (48.13)
Вариации Ц(r) и 8ЛЯ были вполне произвольными; приравнивая нулю
коэффициенты при них, мы получили уравнения движения и урав-
нения поля. Вариации же не являются произвольными, так как функции g
подчинены уравнениям
.3 = 0. (48.01)
Выразим вариации 8g через независимые произвольные величины.
Самый общий вид функций gx" удовлетворяющих уравнениям
(48.01), получается из галилеевых значений этих функций путем
преобразования координат. Следовательно, все возможные виды функций g^"
совместные с уравнениями (48.01), получаются друг из
друга также преобразованием координат. Таким образом, допусти-
мые бесконечно малые вариации этих функций должны соответствовать
бесконечно малому преобразованию координат.
Пусть бесконечно малое преобразование координат имеет вид
+ (48.14)
где if есть произвольный бесконечно малый вектор, составляющие которого
суть функции от координат xQ, xv х2, х3. По общей фор-
§ 48] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП И ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ 223
муле преобразования тензора мы имеем
дх' дх'
*Р,(*) = ГР (*)_?_ (48.15)
и с точностью до бесконечно малых высших порядков
g V (х7) = gx> (х) + giJ-"U+r"U - (48.16)
Чтобы получить вариацию, т. е. изменение вида функции g.av,
нужно сравнивать g'v'4 и g^ для одних и тех же значений аргу-
ментов.
Так как мы имеем
g(х7) = g^ (х) + Tj. (48.17)
(в поправочном члене можно написать gPv вместо g7:iV), то будет
g7liV (х) - gp (х) = 8g;" (х) = g," -j?- + g'* д?г - у (48.18)
Эта формула может быть написана в виде
+g'"7V,^, (48.19)
или короче:
3g.J-4 = Vptj4 -\- (48.20)
Аналогичная формула
8 g.x, = - V;jy - V (48.21)
может быть получена или независимо (тем же путем) или из
соотношения g^gv-4 = 8*.
Переписывая формулу (48.11) в виде
8gS = у j* Trbg^ У - g (dx) (48.22)
и подставляя сюда (48.21), получим
SgS = - у j ^ (VX + V Л^) У" - g (dx) =
= _ сэ j 7V-V y"^i(rfx), (48.23)
так как тензор Т симметричен. После интегрирования по частям получаем
= J \Y - g(dx). (48.24)
Если считать известным, что расходимость тензора массы равняется
нулю, то из формулы (48.24) можно заключить, что интеграл
224 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ [гл. IV
действия является экстремумом также и по отношению к допустимым вариациям
величин g^.r Но можно сделать и обратное закиочение и вывести из свойств
интеграла действия равенство
V"7V" = 0, (48.25)
где 7V' есть тензор, входящий в качестве коэффициента при 8g^,( в
выражение для его полной вариации. В самом деле, интеграл действия есть
инвариант (скаляр) и потому не меняется при любых, в том числе бесконечно
малых, преобразованиях координат. Выражение для его полной вариации
85 = с2 j (V, П >) % V~g (dx) -
- j ([iX + F V - g (dx) +
+ J( -+ i VpP'ty^V^ldx) (48.26)
заведомо равно нулю, если вариации и 8Ла происходят вследствие бесконечно
малого преобразования т^. (Это заключение вытекает из одного лишь
свойства инвариантности и не зависит от того, будет ли 5 интегралом
действия или каким-нибудь другим инвариантным интегралом.) Но если 5 есть
интеграл действия, то коэффициенты при S(r) и 8Ла в выражении для 85 в
отдельности равны нулю. Поэтому равны нулю и остальные члены в выражении
для 85 и мы имеем
3,5 = с* J (Vv7'E'')^l/^(rfx) = 0, (48.27)
каковы бы ни были величины т| . Отсюда уже следует равенство
(48.25).
То, что тензор 7V\ определяемый как коэффициент при 8gy" есть тензор
массы (или ему пропорционален), вытекает из установленной в § 31
единственности тензора массы, имеющей место при условии, что его
составляющие суть функции состояния системы (в число функций состояния
включаются здесь и g^,). В рассматриваемом случае уравнений Максвелла -
Лоренца мы это проверили непосредственным вычислением [формула (48.12)].
Проиллюстрируем приведенные рассуждения еще на одном примере, а именно на
уравнениях гидродинамики. В этом случае интеграл действия будет иметь вид
5= f (fc*+ ?*K)V-g(dx).
(48.28)
