Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
S (р V) - Vj, (р V •" - р V*(r)) (47.35)
или . ,
S (PV) = -== [V^?* - ""',<0]. (47.36)
У- ?
откуда следует, что варьированный вектор тока также удовлетво-
ряет уравнению неразрывности, что и следовало ожидать.
Заметим, что если смещения I" пропорциональны скорости, так что = ти(r),
где т есть произвольная функция от координат, то варьированное поле
скоростей, а также варьированная плотность, не отличаются от
неварьированной. Это можно проверить непосредственным вычислением;
подстановка в наши формулы дает
Ьи" = 0, Sfj.* = 0 и 8р* = 0.
После того, как вычислены вариации различных величин, соответствующие
смещениям $°, легко проверить, что уравнения поля (47.02) и уравнения
движения (47.03) являются условиями экстремума интеграла
5 = J (с'У - 4 и*А" + тЬ V~~g {dx)' (47-37>
где для краткости положено
(dx) = dxQ dx1 dx., dx.,. (47.38)
Интеграл (47.37) взят по некоторой четырехмерной области, на границе
которой вариации и исчезают.
Вычислим сперва вариацию последнего члена в (47.37). Как легко проверить,
мы имеем
8(F/'f) = 2F^p. (47.39)
Поэтому
¦jL. Ь J / V7* (dx) = -1- J (dx) =
i С дЪАа дЪАа \--------------.-------------
J (47-40>
Так как тензор F*? антисимметричен, то оба члена в скобках дают одно и то
же. Поэтому мы имеем
^ 81V* V-e V"=i "!*> =
после интегрирования по частям.
§ 47] ВАРИАЦИОННОЕ НАЧАЛО ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА - ЛОРЕНЦА 219
Вариация второго члена в (47.37) равна, вследствие (47.36),
~TS§Р*и*А"У-~g(dx)~ - 7 \?*и°&Аа V- g(dx)~
"jj Aa-^~ \V~g'S("•?" - "";')] (dx). (47.42)
Производя интегрирование по частям, получим для последнего интеграла в
(47.42) выражение
1J р* (".;" _ u,t^ yiTg (dx) =
= -tJp *"'/%,'• (<**)¦ (47.43)
Таким образом, второй член дает
- 7 8 J р'*и*Аа У-g(dx) -
= - 7 J (dx). (47.44)
Наконец, вариация первого члена в (47.37) на основании формулы (47.29)
равна
о fcyV^gidx) = / [- c2V, ([Л') + u.X"''V4°] Y~g(dx). (47.45)
После интегрирования по частям член, пропорциональный с2 (в правой
части), дает нуль, а остающийся член дает
8 Jcy}/ - g(dx) - - J р.* (и^и,) ?, V- g(dx). (47.46)
В самом деле, вследствие уравнения неразрывности (47.05) мы имеем
= V, ('>*uaii'\°) - у (u'V,u,) (47.47)
а интеграл от первого члена здесь дает нуль.
Вводя, согласно (47.04), обозначение
we = mvVvms (47.48)
для ускорения, мы будем иметь
8 JcYV^gidx) = - J V^idx). (47.49)
Соединяя вместе формулы (47.41), (47.44) и (47.49), получаем следующее
окончательное выражение для вариации интеграла
220 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ [гл. IV
действия (47.37):
85 = - J (рХ + -?¦ Fm**)V=g (dx) +
+ + i b^Y^y^idx). (47.50)
Здесь коэффициенты при и ЬАа равны нулю в силу уравнений движения (47.03)
и уравнений поля (47.02). Тем самым доказано, что
85 = 0. (47.51)
Обратно, из условия экстремума интеграла действия
(cY-^u'A' + ^F^y^gidx) (47.37)
можно заключить, в силу произвольности вариаций и 8/1,, о выполнении
уравнений движения и уравнений поля.
То обстоятельство, что вариации вида ;J = ти" не меняют поля скоростей,
сказывается в том, что имеет место соотношение
"'(рХ + -7-/7""") = 0* (47.52)
причем оно выполняется тождественно, т. е. независимо от выполнения
уравнений движения. Это соотношение показывает, что из четырех уравнений
движения - только три независимых. То обстоятельство, что вариации вида
8/1, = 8-^- не меняют электромагнитного поля, сказывается в том, что
имеет место соотношение
= (47.53)
причем оно также выполняется тождественно, т. е. независимо от выполнения
уравнений поля. Это соотношение показывает, что четыре уравнения поля не
независимы, а связаны дифференциальным соотношением (47.53).
§ 48. Вариационный принцип и тензор энергии
В § 45 мы указывали, что при формулировке теории относительности в
произвольных координатах возможны две точки зрения. Согласно первой точке
зрения, величины g^., рассматриваются как заданные функции от координат
(получаемые путем замены переменных из галилеевых значений). Согласно
второй точке зрения, величины gav рассматриваются как неизвестные
функции, подчиненные уравнениям
/w? = 0, (48.01)
§ 48] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП И ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ 221
а также неравенствам, неоднократно нами формулированным.
При вычислении вариации интеграла действия мы стояли на первой точке
зрения, сообразно чему вид функций g не варьировался. Но мы можем встать
и на вторую точку зрения и варьировать также g4.,. От этого в выражении
(47.50) для SS к вычисленным двум членам, соответствующим вариациям и
8Ла, прибавится третий член, который будет соответствовать вариации gx.r
Вычислим этот член.
Обозначим вариации разных величин, происходящие от вариации gy..,,
символом Ьд. В выражении (47.12) ни якобиан /, ни функция F величин g,x.,
не содержат; поэтому будет
дА df.,
= У ^ ^(48'02)
g't др др
и, следовательно,
\ ^ иы- 8^v. (48.03)
Далее, легко видеть, что
^(р*"У^) = 0, (48.04)
а также
8в(Р*иМ,У=В = 0. (48.05)
поскольку Аа теперь не варьируются.
Ддде.е.
