Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
их первые и вторые производные стремятся к нулю, как 1 /г, где '- =
Vij+*S+ х*. (Это предположение будет оправдано в дальнейшем). Тогда на
больших расстояниях второй член в (54.12), представляющий однородную
квадратичную функцию от первых производных, будет стремиться к нулю как 1
/г2. Что касается оператора Даламбера, то с тем же приближением
коэффициенты в нем можно заменить их предельными значениями. После этих
упрощений мы
ds- = с- dx- (dx* -f- dxj -f- dx'*).
(54.07)
ds°- ~ g,, dx* dx.,
(54.08)
(54.09)
(54.12)
(54.11)
16*
ш ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ [гл. V
получим
1 I 1 (dig'^ I dig*'' I <^'\ rc1 ,04
Более полное исследование асимптотического поведения величин gv-1 будет
дано в § 87. Исследование это показывает, что на асимптотический вид g?-
'' влияют также члены порядка ~, отброшенные в (54.13), но что
качественно поведение разности gf - (g';j,'0oo будет
то же, как поведение функции ty, удовлетворяющей волновому уравнению
ctS-a'^°- (54Л4>
где Д есть обыкновенный (евклидов) оператор Лапласа.
Нас интересуют решения волнового уравнения (54.14), которые соответствуют
расходящейся волне, убывающей на бесконечности. Они имеют асимптотический
вид
7
= (54.15)
где п - единичный вектор с составляющими
"" = 7-; = у! = 7, (54.16)
а /--произвольная функция. Функция / и ее производные по всем аргументам
предполагаются конечными. Аргумент п дает зависимость функции / от
направления, в котором точка удаляется на бесконечность.
Другие возможные решения волнового уравнения должны быть отброшены по
физическим соображениям. В самом деле, в нашей постановке задачи система
рассматривается как изолированная. Но это означает, что извне никакие
волны на нее не падают. Всякая
волна имеет своим источником одно из тел системы, а поскольку
в системе островного типа все тела сосредоточены в некоторой конечной
области, всякая волна исходит из этой области и на больших расстояниях от
нее имеет асимптотический вид (54.15).
Условие, чтобы решение волнового уравнения имело на бесконечности
указанный вид, можно записать в дифференциальной форме:
Нт(^) + 1^И)\ = 0. )
\ дг ~ с dt ) с (54.17)
(при г ->¦ оэ и всех t) \
Это условие можно назвать условием излучения. Оно гарантирует
единственность решения волнового уравнения, если только присо-
ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
245
единить к нему требование, чтобы функция 6 и ее первые производные по х,
у, z, t были всюду ограничены и убывали на бесконеч-
Напомним, что вышеприведенные соображения относятся, строго говоря, к
обычному волновому уравнению (54.14), а не к уравнениям Эйнштейна.
Поэтому асимптотический вид разности
будет несколько отличаться от (54.15). Однако условие излучения,
написанное в дифференциальной форме (54.17), будет справедливо и для
величины (54.18).
Резюмируя, можно сказать, что, в нашей постановке задачи, фундаментальный
тензор должен удовлетворять требованию евклидо-вости на бесконечности и
условию излучения.
§ 55. Решение уравнений тяготения Эйнштейна в первом приближении и
определение постоянной
Для сравнения теории тяготения Эйнштейна с теорией Ньютона мы должны
прежде всего определить постоянную /, входящую в уравнения тяготения
Эйнштейна
Значение этой постоянной можно найти из сопоставления выражения для
квадрата интервала в ньютоновом приближении (§ 51) с выражением,
получаемым путем приближенного решения уравнений Эйнштейна.
Для тензора массы в правой части (55.01) мы можем взять приближенные
выражения, соответствующие евклидовой метрике и рассмотренные в § 32 (где
они были выписаны для случая упругого тела). Переписывая эти выражения,
мы должны помнить, что величина jc0 означает у нас теперь просто время t,
а не ct, как раньше. Поэтому прежнее Г00 будет равно, в новых
обозначениях, с^Т00, а прежнее T0f будет равно новому cT0i, тогда как Tik
не изменится. Таким образом, если x0 = t, то формулы (32.34) перепишутся
в виде
ности, как у (см. § 92).
gV" __
(54.18)
(55.01)
^,ю-Р + ^(уР^+рп),
В
с2 rik = mVh-Pik-
246
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл. V
В нашем приближении мы должны здесь отбросить члены, соответствующие
плотности и потоку энергии (скаляру и вектору Умова), и писать просто
С2ТОО _ р; С2Та = pV{ (55.03)
С той же точностью, с какой справедливы выражения (55.03), мы можем
заменить инвариант тензора массы значением
Т=р. (55.04)
Формулы (55.03) и (55.04) позволяют вычислить приближенные значения
тензора, входящего в правую часть уравнений Эйнштейна, написанных,
согласно (53.03), в виде
/Г
(55.05)
(55.06)
Используя галилеевы значения g^'\ мы получим Т00 ~~ ту gMT=z -^2 р,
T^-jg'T-^lpv,,
Tfk-jg^T=lp^.
С другой стороны, в гармонической координатной системе мы приближенно
имеем, согласно (54.13):
1 dzgv-i
=
(55.07)
2 Д?" 2с* dt*
где Д- обычный евклидов оператор Лапласа. Поскольку нас интересует квази-
статическое решение, мы можем отбросить здесь член с второй производной
по времени. Подставляя (55.07) и (55.0S) в (55.05), будем иметь:
