Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
)
AgOO :
Ag^'i : Agik :
С'*
Р>
2%
хроjk.
(55.08)
Припомним теперь выражение для квадрата интервала в ньютоновом
приближении. Согласно (51.10), в этом выражении
?оо = с3 - 27/, (55.09)
где U есть ньютонов потенциал; остальные компоненты фундаментального
тензора заменяются в этом приближении их галилеевыми значениями. Применяя
формулу
+ 2 goigi0 = 1
(55.10)
ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
247
и используя то обстоятельство, что произведения gt, gi0 весьма малы по
сравнению с единицей *), мы можем считать, что
8оо8°° = > (55.11)
и, следовательно,
"°°=4+^- (55Л2>
По ньютонов потенциал U удовлетворяет уравнению
- 4ufp. (55.13)
Отсюда
= (55.14)
Сравнивая это уравнение с первым уравнением (55.08), мы получим
совпадение, если эйнштейнова постоянная тяготения х будет связана с
ньютоновой постоянной у соотношением
* = -^. (55.15)
Ньютонов потенциал U есть то решение уравнения (55.13), которое
удовлетворяет надлежащим предельным условиям на бесконечности. Это
решение, как известно, может быть представлено в виде объемного интеграла
U = Т f |г-У | dx' dz''' ((r)^'1 ^
Введем, наряду с ньютоновым потенциалом, функции
= ч dy' dz', (55.17)
удовлетворяющие уравнениям
\Ui~ - 4гс'грг'1 (55.18)
и условиям на бесконечности. Эти функции могут быть названы, по аналогии
с соответствующими электродинамическими величинами, вектор-потенциалом
тяготения. Тогда решения уравнений (55.08), после замены в них постоянной
/ ее значением (55.15), напишутся:
&
g^- - (, -~УЛ. j
(55.19)
*) Оценка этим членам будет дана ниже
248 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ [гл. V
Заметим, что U имеет размерность квадрата скорости, a Ui-размерность
третьей степени скорости. При оценке порядка величины можно считать, что
U будет порядка q9, a {Ji - порядка qs, где q есть некоторая скорость,
малая по сравнению со скоростью света.
Из контравариантных компонент фундаментального тензора мы можем уже чисто
алгебраическим путем найти ковариантные компоненты, а также определитель
g и другие величины.
Для упрощения алгебраических выкладок введем систему величин
aik = -gik + ^-, = (55.20)
"00
где I, k-l, 2, 3. Нетрудно проверить, что будет
= (55-21)
Ш = 1
Совокупность величин aik можно рассматривать, как трехмерный
пространственный метрический тензор; нам важны здесь, впрочем, только
алгебраические их свойства.
Если мы положим
a = Detaift (55.22)
и, следовательно,
~ = Det aik, (55.23)
то будет
g = - agm. (55.24)
Из определения (55.20) непосредственно следует
g00g0k='2*m*gm о- (55.25)
т = 1
а также
gio = Доо 2 W0*- (55.26)
к = 1
Если величины gv-4 имеют значения (55.19), то будет
и, следовательно,
= (55-27)
e" = (i+-ir)a*- (55-28)
Принимая во внимание значение g'gg, получим
gooaik = сЧ(к> (55.29)
причем относительная погрешность здесь будет более высокого по-
рядка, чем U/с-.
Отсюда, с той же относительной погрешностью,
8 из = CV°- (55.30)
§ 551 ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 249
Используя эти формулы, получаем для ковариантных компонент
фундаментального тензора выражения:
~ с- 2(7, |
4 I! I
goi-pUif [ (55.31)
Sik = - (l + Sjfc.
Зная приближенные значения goi и goi, мы можем теперь проверить, с какой
точностью выполняется использованное нами равенство (55.11). Мы имеем
приближенно
?TooSw= 1-(55'32)
"=i
Если Ui - порядка дй, то это выражение отличается от единицы на величины
порядка </6/с6. Следовательно, равенством (55.11) можно пользоваться
не только в данном, но и в следующем приближении
относительно Ujc2 (или г^/с-). Заметим, что из формулы (55.26) следует
з
йГоойло= 1 - ?оо 2 (55.33)
i,k = 1
Здесь величина ^00 положительна, а двойная сумма представляет
определенную положительную форму, следовательно, будет всегда (вполне
строго)
g'oo§'00< 1. (55.34)
хотя отличие левой части (55.34) от единицы, как мы видели, весьма мало.
Выпишем теперь значения определителя g и умноженных н- g контравариантных
компонент фундаментального тензора, которые мы обозначаем через
!)'¦' V- gg'1-'- (55.35)
Мы имеем и, следовательно,
Отсюда
? = с2+4(/ (55.36)
2U
= с + (55.37)
ли
250
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
[гл. V
Нам необходимо теперь оценить отброшенные нами в выражении для Rllv
члены, квадратичные в первых производных.
чений скобок Кристоффеля мы могли бы воспользоваться только что
найденными приближенными значениями фундаментального тензора. Мы не
будем, однако, проделывать здесь этих вычислений, так как квадратичные
члены будут подробно вычисляться в главе VI, где уравнения тяготения
будут решаться в следующем приближении. Здесь нам нужен только порядок
величины квадратичных членов. Он будет следующий. Члены в Rr,° и RPi
будут шестого, а члены в Rih ~ четвертого порядка относительно 1/с. В
рассматриваемом приближении эти члены на результат не влияют.
Нам остается проверить, выполняются ли в должном приближении условия
гармоничности
Выясним прежде всего, с какой точностью должны быть выполнены эти
условия. Если в формуле (53.04) для R^ не вычеркивать членов Г1", а
