Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(I 23>-|32"//2.
Таким образом, разбиения [2] и [11] теперь соответствуют шестимерному и
трехмерному представлениям группы U3.
3) N = 2, п = 3. Теперь 23 = 8 произведений имеют вид |111>, | 112>, I
121>, 1211>, | 122>, 1212>, |221>,-|222>. Подпространство Ll3i--это
просто множество полностью симметричных комбинаций таких векторов. Его
легко построить:
Lls:: |111>, (|112> + (121> + |211"//3,
| 222>, (|221> + |212> + [122"/1/3.
Представление группы соответствующее разбиению
[21], двумерно. Поэтому соответствующий блок (18.6) имеет две строки.
Вспомнив пример из гл. 17, § 9 или применив проекционный оператор, мы
убеждаемся, что в качестве блока базисных векторов можно взять следующую
таблицу:
L1211:
(2| 112>-]121>-|;211"//б, (2|221>-|212>-|122"/Кб, (| 121 >- [ 211})1У2,
(|212>-|122"//2.
В каждом столбце мы расположили векторы, преобразующиеся по обычному
представлению ТШ1 (гл. 17, § 9). Мы не получили еще представления U[211 в
обычном виде, но два вектора в первой строке различаются числом "частиц"
в каждом "состоянии". Очевидно, что они взаимно ортогональны, но любая
пара ортогональных векторов, построенных как их линейные комбинации, тоже
может служить базисом. О выборе обычного базиса представлений U(a)
говорится в § 4. Для доказательства того, что каждая строка порождает
одно и то же представление группы UN, достаточно показать, что матрицы
общего
252
Глава 18
унитарного преобразования Т (U) одинаковы в этих двух пространствах. При
этом нужно воспользоваться соотношением <Г/'?' | Т (U) | ijk} =
UviUj'jUk'k, вытекающим ьиз определения (18.3). На этом заканчивается
разложение пространства L, так как пространство L[111J отсутствует из-за
того, что N = 2. Любая попытка спроектировать на такое пространство
приводит к нулевым векторам.
4) N = 3, п = 3. Мы оставляем этот пример в качестве упражнения.
Пространство L теперь 33 = 27-мерно. Оно разлагается на десятимерное
пространство Lal, на шестнадцатимерное пространство Ll21], которое
описывается блоком с двумя строками и восемью столбцами, и на одномерное
пространство
§ 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОДГРУПП UN~^UN.1-^
Часто бывает удобно выделить последовательность подгрупп. С ее помощью
можно занумеровать базисные векторы представлений. Например, в гл. 7,
используя подгруппу Э12 группы М3, нумеровали с помощью числа т базисные
векторы представления D(7> группы 9ts. В гл. 11 мы нумеровали базисные
векторы представлений (7, ц) группы SU3 числами Т, Мт и Y, которые
связаны с подгруппами SU2, ГЯ2 и U-L группы SU3. Тот же способ применялся
к группе перестановок &п в гл. 17, §8, где рассматривалась
последовательность аРп -* &
В случае унитарных групп мы возьмем последовательность подгрупп U дг -U
U2-+ из. Она
получается путем последовательного ограничения преобразований на
пространства, размерность которых на единицу меньше. Достаточно
рассмотреть лишь первый шаг в этой последовательности. Для простоты
рассмотрим сужение UN-+UN_1xU1> которое для отбрасываемого одномерного
пространства сохраняет простые преобразования из группы Ut. Группа t/j
состоит из 1 х 1-матриц вида ехр (-Ю) и, как и группа 5?2 в гл. 7, § 3,
имеет одномерные неприводимые представления ехр(-ш0), нумеруемые целым
числом т. Пусть для определенности Фдг-базисный вектор отбрасываемого
пространства (в тех же обозначениях, что и в § 1). Тогда
Унитарная группа (Удг
253
преобразования UN_г действуют на базисные векторы ср!, ф2, Фдг,!.
Произведение вида Ф [формула (18.2)] будет преобразовываться по
представлению ехр (- irQ) группы Uj, если в него вектор фдг входит г раз,
т. е. если г из п частиц находятся в состоянии фдг. Найдем разложение
представления и("п> группы UN при ограничении его на подгруппу UN_xxU-i_.
Индекс п удобно включить в обозначение ап, чтобы подчеркнуть, что ап-это
разбиение числа п, или, иначе говоря, схема Юнга из п квадратов. Сначала
мы сформулируем результат, а затем докажем его. Итак,
П
U<"") = 2 2' V<""-'>xexp(-ггв), (18.9)
г= Оап_г
где V&n-r) - неприводимое представление группы ?(c)_х. Штрих у суммы
означает, что берутся лишь те схемы Юнга ал_г, которые можно получить из
схемы Юнга ап, удаляя г квадратов, причем нельзя брать два квадрата из
одного столбца. Не доказывая пока этот результат, проиллюстрируем его на
примерах § 2 для ограничения U3 -*- U2 х Ux и п = 2:
U12, = V'f21 (c) ехр (- i0) V111 (c) ехр (-210) Vм,
= Vfiij 0 ехр (_ щ Vti]
Замечая, что число г соответствует числу частиц в состоянии ф3, нетрудно
каждому представлению W{ai-r) сопоставить базисные векторы из примера 2,
§ 2:
( r = 0 V [2): |11>, [22>, (|12> + |21"//2,
Uwj г=\ у ап ([13> + |31"/]/2, (|23> + |32"//2,
I r = 2 V to!: |33>,
мсш| r = 0 V Ш/; О 12>-(21"/К_2,
\ r= 1 V [1]: (| 13> -131"/2, (|23>-[32"К2,
Приведенные здесь для представлений V121 и V111! векторы совпадают с
векторами из примера 1, § 2. Две пары векторов, соответствующие
представлению V111, различны, но при действии группы U2 на состояния фх и
