Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
первой строки должен находиться на диагонали. Таблица второй строки
принадлежит типу сг. Парной для нее таблицей типа с2 будет таблица пятой
строки. Лишь эти две таблицы имеют общую таблицу:
Следовательно, на пересечении второй,' строки с пятым столбцом, а также
пятой строки со вторым столбцом находятся ненулевые матричные элементы.
Все другие матричные элементы во второй и пятой строках, кроме
диагональных, равны нулю. Немногочисленные ненулевые матричные элементы
вычисляются по следующим правилам:
1. Диагональный матричный элемент таблицы типа а равен +1.
2. Диагональный матричный элемент таблицы типа Ь равен -1.
11 2 I 3 | 4 f
240
Глава 17
3. Диагональный матричный элемент таблиц типа
и типа с2 равен -1~1 и +/-1, где I-число, называемое "аксиальным
расстоянием" от числа п - 1 до числа п. Оно определяется как наименьшее
число шагов, которое нужно сделать, чтобы от числа п-1 перейти к числу п,
двигаясь последовательно в горизонтальном и вертикальном направлениях от
одного квадрата к другому соседнему квадрату. Перемещение на один квадрат
влево или вниз считается положительным шагом. На самом деле
вышеприведенные правила 1 и 2 являются частными случаями правила 3.
4. Недиагональные матричные элементы, соответствующие паре таблиц типа сг
и с2, равны +(1-Этим обеспечивается ортогональность матрицы.
По этим правилам можно вычислять, как говорилось ранее, не только матрицу
перестановки Р56, приведенную в табл. 17.5, но и матрицы всех других
смежных перестановок. Так, например, матрица перестановки Р34 в
представлении Tt42] имеет вид
В качестве другого примера можно, пользуясь этими правилами, проверить
правильность вычисления в § 9 матриц простых перестановок Р12 и Раз в
представлении [21] группы <5Г3.
В заключение дадим обоснование наших правил. Обозначим через Т (Р"_!, п)
матрицу перестановки P"_i, "¦
( 1
1
- 1
/
Так как P2_i " = Е,гдеЕ - тождественное преобразование,
Группа перестановок ?fn
241
мы имеем Т2=1. В силу сказанного в гл. 4, § 6 любое представление
конечной группы эквивалентно унитарному. Поэтому мы можем потребовать,
чтобы матрица Т была унитарной, т. е. выполнялось условие ТТ+ = 1. Из
этих двух условий для матрицы Т следует, что диагональные матричные
элементы, соответствующие таблицам типа а и Ь, должны быть равны ±1, а
блоки из 2 х 2-матриц, соответствующие таблицам типа сх и с2, должны
иметь вид
где а-некоторое действительное число. Положительные квадратные корни
соответствуют определенному выбору отношения фазовых множителей для
базисных векторов. Осталось доказать, что а = 1~1, где I - аксиальное
расстояние в таблице типа сх от числа п-- 1 до числа п. Доказательство
проведем по индукции: мы покажем, что если наши правила справедливы для
чисел п-2 и п-1, то они справедливы и для числа п. Тогда, зная, что наши
правила применимы к специальным случаям п - 2, 3, мы можем считать, что
они применимы для всех чисел п. Для доказательства нам потребуется
тождество
P/I-J, п^п-J, n-l^n-J, п~^п~2, n-l^n-lJn^n-2, л-1' (17.36)
в справедливости которого нетрудно убедиться. Предположим, что парные
таблицы типа сх и с2 расположены в строках г и si представления Т. Для
двух эквивалентных выражений в равенстве (17.36) построим матричный
элемент, расположенный на пересечении строки г со столбцом s. Заметим,
что такой матричный элемент для перестановки P"_2t n_i должен быть равен
нулю, так как схемы Юнга, получаемые путем удаления числа п из этих двух
таблиц, неодинаковы, а перестановка Pn_2, n-i ПРИ' надлежит подгруппе &
п-х. По предположению диагональные матричные элементы перестановки Р"_2,
вычисляются в соответствии со сформулированными выше прави-
где 1Х-аксиальное расстояние от числа п-2 до числа п-1 в таблице Юнга
строки г, а /2-аксиальное расстояние от числа п-2 до п-1 в таблице Юнга
строки s. Подставляя выражение (17.35) для матрицы T(Pn_lt"
(17.35)
лами, так что Т'ГГ(Р,
Л-2, Л -1,
)=-/г\ Т"(Р,
Л-2, Л -
242
Глава 17
в тождество (17.36), получаем матричный элемент, стоя-щий на пересечении
строки г со столбцом s: all ->nraj-
- V(\- a2) li1a = li11^(1- a2) ll1. Отсюда a = {l2 - l1)~1. Таблицы Юнга
строк г и s различаются лишь заменой чисел п и п-1. Значит, 12-это
аксиальное расстояние от числа п - 2 до числа п в таблице строки г.
Следовательно, разность (12-1г) должна совпадать с аксиальным расстоянием
от числа п-Т до числа п в таблице строки г. Другими словами, a -l-1.
Таким образом, считая, что правила применимы к перестановке P"_2, n_lt мы
доказали, что они применимы и к перестановке что и тре-
бовалось. Правила 1 и 2 можно рассматривать как частные случаи,
соответствующие аксиальным расстояниям +1.
§ 14. ОПЕРАТОР Y, т (р0) КЛАССА СОПРЯЖЕННЫХ
i < /
ЭЛЕМЕНТОВ
Можно показать (приложение 3, § 3), что в любом неприводимом
представлении Т<"> сумма 2 (Gv) опера-
7
торов представления по всем элементам группы Gv, лежащим в выбранном
классе % сопряженных элементов, пропорциональна единичной матрице.
