Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
классу сопряженных элементов (22). Приведенные в правой части таблицы
разложения получаются простым подбором, хотя, конечно, в сомнительных
случаях можно воспользоваться соотношением ортогональности (4.28).
На основании этого примера, подставляя соответствующие коэффициенты /гг
(р; [2], [2]) из табл. 17.4, мы получаем соответствующее разложение
(17.28) внешнего произведения представлений
[2] (r) [2] = [4] (r) [31] 0 [22]. (17.34)
Как нетрудно убедиться, размерность обеих частей равенства (17.34)
одинакова: 1 X 1 X 4!/2!2! = 1 3 -j- 2.
§ 13. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД МАТРИЦ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
В § 8 мы рассмотрели систему нумерации базисных векторов неприводимых
представлений группы ГГп с помощью таблиц Юнга, основанную на цепочке
подгрупп. В § 9 мы привели несколько примеров таких векторов и вычислили
соответствующие матрицы представлений. В данном параграфе мы сначала
приведем совершенно общие правила написания таких матриц (см. книгу [1]),
а затем после нескольких примеров обоснуем эти правила. В различных
эквивалентных представлениях эти .матрицы неодинаковы. Но часто их
записывают в виде, который мы назовем каноническим. Его преимуществом
является то, что матрицы тогда ортогональны. Если матрицы известны, то с
помощью проекционных операторов (гл. 4, § 19; в случае группы ГГп они
называются симметризаторами Юнга) можно из любой заданной функции
построить семейство базисных векторов. Таким образом, порядок изложения
будет обратным по сравнению
Группа перестановок gf п
237
с изложением в § 9, где мы сначала строили в простых случаях базисные
векторы, а затем получали матрицы.
Рассмотрим какое-либо неприводимое представление Т("п) группы ГРп.
Разбиение ап числа п задает схему Юнга. Как говорилось в § 8, индексы
базисных векторов определяются возможными таблицами Юнга апап_1...а2.
(Например, в табл. 17.5 изображены девять таблиц Юнга, соответствующих
разбиению [42].) В § 1 мы показали, что любую перестановку можно выразить
через смежные перестановки Р,_ь Назовем перестановку P,-_li ,• последней
простой перестановкой подгруппы ГР t. Общее правило для нахождения
матрицы последней простой перестановки Рп-1, п группы ГР п позволит нам
найти матрицы всех смежных перестановок и, следовательно, матрицы вообще
всех перестановок. Здесь мы исходим из того, что таблица ап, ап_1( ...,а2
для группы S'п при последовательном отбрасывании разбиений ап, а"_1, ...,
а3 переходит в таблицы для цепочки подгрупп ГРп_х, ГР"_2, ..., ГР
На объектах с номерами 1, 2, ..., я- 2 перестановка Рп-1,п является
тождественным преобразованием. Значит, ненулевыми матричными элементами
перестановки Рп_Ьп будут лишь матричные элементы между теми векторами, у
которых таблицы Юнга из чисел 1, 2, ..., я-2 совпадают. Поэтому мы должны
для заданного разбиения [ttj/ig...] искать таблицы, которые содержат
одинаковые таблицы из '"чисел [1, 2, ..., я-2. Обозначим через у таблицу
разбиения [я^...], а через у-таблицу, которая получается из таблицы у в
результате удаления чисел п рГп - 1. Все возможные таблицы у можно
разделить на четыре типа: а) таблицы, в которых числа п и я-1 находятся в
одной строке; Ь) таблицы, в которых числа я и п-1 находятся в одном
столбце; ct) таблицы, в которых числа п и я-1 не лежат ни в одной строке,
ни в одном столбце, причем число я лежит в более низкой строке, чем число
п-1; с2) этот тип таблиц подобен типу с*, но теперь число п лежит в более
высокой строке, чем число п - 1. В табл. 17.5 таблицы Юнга в первой,
восьмой и девятой строках принадлежат типу а, во второй, третьей и
четвертой строках-типу clt а в пятой, шестой и седьмой строках-типу с2.
Таблица 17,5
Матрица перестановки Р56 в неприводимом представлении ТГ42* группы 00
1 г 314
6
1 2 3 4
5 6
1 2 3 5
4 6
1 2 4 5
3 б
1 3 4 3
2 6
1 2 3 6
4 5
1 2 4 6
3 5
1 3 4 6
2 5
1 2 5 б
3 4
1 3 5 6
2 4
1 2 з|5| 1 2 4| 5
4 6 3 6
1 3 4 р ] 1 2 3 6
2 6 4 5
1 2 41 б ( 3 4| б
3 5 2 5
X
з
X
з
1 2 з|б| 1 3 Р | б j
3 4 2 4
?
1
Глава 17
Группа перестановок gfn
239
Легко видеть, что таблица у, получающаяся из какой-либо таблицы у типа а
или Ь, не может порождаться никакой другой таблицей разбиения [пгп2...].
Таблица у, порожденная таблицей типа си будет также получаться из
соответствующей таблицы типа с2, в которой числа п и п-1 переставлены
наоборот. Следовательно, единственными ненулевыми матричными элементами
перестановки Р"_!, " будут диагональные матричные элементы для таблиц
типа а или Ь, а также матричные элементы, образующие блоки из 2 х 2-
матриц, связывающих пары таблиц типа с, и с2.
В табл. 17,5 приведены ненулевые элементы матрицы перестановки Р56 для
разбиения [42]. Способ нахождения численных значений матричных элементов
будет указан позднее. Отметим, что индексом первой строки служит таблица
Юнга
принадлежащая типу а. Для этой строки таблица у равна
Она больше нигде не встречается. Поэтому единственный ненулевой элемент
