Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вывести разными способами. Один из них основан на том, что число / в
представлении D6'> соответствует максимальному значению
инфинитезимального оператора J2, который в исходном двумерном
пространстве представляется матрицей^ q2 ^ На произведении Фтипа (18.2)
такой инфинитезимальный оператор диагоналей, а его значение складывается
из вкладов + 1/2, которые дают все частицы в состоянии cp4, и вкладов-
1/2, которые дают все частицы в состоянии ср2. Поэтому наибольшее
значение инфинитезимальный оператор имеет в том случае, когда максимально
возможное число из п частиц находится в состоянии фх. В случае полностью
симметричных функций, соответствующих схеме Юнга [я] с одной строкой, это
число, очевидно, равно п, т. е. / = V2h. Таким образом, целочисленность
числа я приводит к тому, что число j либо целое, либо полуцелое.
Путем аналогичных рассуждений можно установить соответствие между
индексами (Яр), которыми обозначались в гл. 11 неприводимые представления
группы SU3, и схемами Юнга [ял] с двумя строками, причем ц1 = Я-)-р, я2 =
р. Напомним (гл. 11), что число г/3 (Я-(-2р)-это наибольшее значение
инфинитезимального оператора Y, который в исходном трехмерном
пространстве представляется
Унитарная группа Uдг
263
матрицей
и при таком значении оператора Y число 1/2Я совпадает с наибольшим
значением инфинитезимального оператора Тг, который представляется
матрицей
Значит, оператор Y имеет на произведении Ф наибольшее значение в том
случае, когда минимально возможное число частиц находится в состоянии
ср3. Но для построения функции, соответствующей схеме Юнга [яхя2] с двумя
строками, достаточно, чтобы частицы занимали лишь два разных состояния.
Поэтому все частицы могут находиться в состояниях и ф2, a X-(-2p = "1-
fn2. На таких функциях максимальное значение оператора Тг достигается в
том случае, когда максимально возможное число частиц находится в
состоянии фх. Для схемы [я^] это число равно п1. Тогда я2 частиц
находятся в состоянии ф2 и Х = п1-я2. Сравнивая это число со значением
числа X-f-2p, получаем я^Х + р, я2 = р, чем доказывается эквивалентность
Таким образом, октет (11) соответствует схеме Юнга
а декуплет (30)-схеме Юнга
Данные в гл. 11, § 6 правила умножения представлений группы SU3 есть
частный случай соотношения (18.13),
264
Глава 18
и с учетом эквивалентностей для группы SUa равенство
(11.11) является следствием равенства (17.29).
Для группы S[/4, которая использовалась при обсуждении ядерной структуры
в гл. 12, мы также можем связать индексы (РР'Р") с разбиением. В этом
случае достаточно разбиения [п^Яд] стремя строками/Напомним, что индексы
Р, Р' и Р" связаны с максимальными значениями инфинитезимальных
операторов Sz,lz и Yzz, которые в исходном четырехмерном пространстве
величин ptf "t, pi, "4 (см. обозначения в гл. 12, § 1) представ-
ляются матрицами
'1 0 0 0' / 1 0 0 0'
1 0 1 0 0 1 0 -1 0 0
0 0 -1 0 . тг = _2 0 0 1 0
,0 0 0 - -1; < 0 0 0 -1
п 0 0 0 \
1 0 -1 0 0
Угг = ~2 0 0 -1 0 •
.0 0 0 1 /
Из вида этих матриц явствует, что линейные комбинации -f- Тг, Sz-Yzz и
Tz-Yzz-это операторы разности чисел частиц в состояниях ф4 и <р4, ф2 и
ф4, ф3 и ф4. Так как для построения функции, соответствующей разбиению с
тремя строками, не требуется, чтобы какие-либо частицы находились в
состоянии ф4, мы имеем Р-\- Р' = nlt Р-Р"= =пг и Р' - Р" = я3. Обращаясь
к примерам, содержащимся в формуле (12.6), получаем соотношения
?('/* •/. ¦/.) = U[3J, D<*/2 '/г */.) = иГ2И, D<'/" - V.) == иШ1],
которые согласуются с соотношением (12.5).
§ 8. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ГРУППЫ UN
Возвращаясь к группе UN, заметим, что в исходном //-мерном пространстве
существуют N2 инфинитезимальных операторов, соответствующих N2
независимым эрмитовым AfxJV-матрицам. Для удобства выберем из них N
диагональных матриц, все матричные элементы которых
Унитарная группа Ujy
равны нулю, кроме одного диагонального матричного элемента, равного -J-1.
Обозначим такие операторы символом Н/, где <=1, ..., N. Из оставшихся N
(N - 1) операторов можно построить линейные комбинации, подобные
операторам Т±, U±, V± в формуле (11.2); при этом получается l/2N (N-1)
пар повышающих и понижающих операторов Еij и Еji, все матричные элементы
которых равны нулю, кроме ij-го в случае операторов E(J и ji-го в случае
операторов Енедиагональных матричных элементов, равных + 1. Такие
операторы переводят частицу из состояния ф; в состояние фу, т. е.
Ey,Tpfc=s8(7^y.
Найдем матрицы этих операторов в произвольном неприводимом представлении
U<">. Прежде всего, операторы Н,- коммутируют между собой и являются
инфинитезималь-ными операторами группы U1xU1x ... xUlt которая состоит из
N подгрупп Uu [соответствующих каждому измерению. Из результатов § 3
следует, что в базисе векторов § 4 матрицы H(ia) операторов Н,- в
представлении U(a) будут диагональны. Собственное значение матрицы Н(га)
на таком базисном векторе равно г,- (см. обозначения в §4). Набор чисел
