Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
преобразования S = exp (гТМ/^). Тогда при любом начальном состоянии
г|)(г, 0) решение в последующий момент времени t определяется равенством
ф(г, 0 = S-^(r, 0). (16.36)
Среднее значение <ф(г, ^)|QlT(r> 0> оператора Q(p, г) в шредингеровской
картине совпадает в гейзенберговской картине со средним значением в
начальном состоянии
Частицы, поля и античастицы
181
преобразованного оператора Q' = SQS-1:
<г|> (г, 0) | Q' | г|> (г, 0)> = <г|> (г, t) | S-1 (SQS-1) S | г|> (г,
t)> =
= <г|)(г, /) | Q | гр (г, ф.
Здесь мы воспользовались тем, что в случае эрмитова гамильтониана Н
преобразование S унитарно. Таким об разом, если в гейзенберговской
картине известны зависящие от времени операторы Q', то можно вычислить
любое среднее значение, определяемое начальным состоянием гр (г, 0).
Вместо нахождения волновой функции г|)(г, t) задача в гейзенберговской
картине сводится к отысканию операторов Q'(p, г, t). "Уравнение движения"
для операторов Q' следует прямо из определения. Если Q-оператор, не
зависящий от времени, то *jiQ'/dt = tHQ'/Й - -iQ'H/h, т. е.
[Н, Q'] = -^Q\ (16.37)
Это гейзенберговский эквивалент уравнения Шредингера
(16.35). В действительности преобразование S есть сдвиг на величину t во
времени, а -iH/fic-инфинитезимальный оператор сдвига (гл. 15, § 4, п. А).
Рассмотрим простейший вид поля: эрмитово (действительное) поле Ф = ф -f-
ф+, где оператор ф+ определяется равенством (16.33) через операторы а+(к)
рождения частиц с массой M - fik/c и нулевым спином. Сумма Ф + Ф*-•
единственная (с точностью до фазового множителя) линейная комбинация двух
таких полей, которая удовлетворяет требованию причинности (п. Г). Будем
считать такие частицы бозонами, дляткоторых выполняются перестановочные
соотношения (16.29а). Мы должны рассматривать зависящие от времени
операторы поля Ф как операторы, подобные операторам Q' в гейзенберговской
картине. Возвращаясь к лагранжевой теории классических полей (§ 2, п. Б),
построим из оператора поля Ф и его первых производных ПФ простейший
инвариантный относительно преобразований Пуанкаре оператор плотности
лагранжиана:
^ = у (ШФ-ЩФ-к*Ф*)%с. (16.38)
Второй член удовлетворяет условию инвариантности плотности ??
относительно преобразований Пуанкаре, так как
182
Глава 16
Ф-скалярное поле. Первый член тоже инвариантен, поскольку мы взяли
скалярное произведение производных поля. Ниже мы объясним, почему в
плотности лагранжиана 3? берется коэффициент k2. Действуя так же, как и в
§ 2, п. Б, построим из плотности лагранжиана плотность гамильтониана
(Ф2с-2 + УФ ¦ УФ + /г2Ф 2)%с (16.39)
и компоненты плотности импульса ИР ч = ФучФЪ с~Л.
Путем алгебраических преобразований на основании определения (16.33)
оператора поля ср+ можно следующим образом выразить операторы Н и Р через
операторы рождения и уничтожения частиц с массой M - foklc.
Н = у^с J 6f[a+(k)a(k)-{-a(k)a'i' (k)]/^-1dk,
Р =-|-Й J k[a+(k) а (к) +а (к) а+ (к)] kf1 dk.
В большинстве полевых теорий возникают проблемы расходимостей.
Рассматриваемый здесь простой пример теории не является исключением. В
самом деле, вакуумное среднее <0|Н[0> бесконечно. В этом можно убедиться,
воспользовавшись полученным на основании равенства (16.29а) соотношением
a(k)a+(k') = a+ (k')a(?) + /?t8(k - k'). Тогда, в силу того что а(к)|0> =
0, из-за наличия 6-функ-ции возникает бесконечность. Если же придавать
физический смысл лишь разности между собственным значением оператора Н и
его вакуумным средним, то мы получим конечные выражения для операторов
Й = Н - <0 I Н |0> =/гс ^ ktaf(k)a (к)ki1dk,
J 4 ' (16.40)
Р = Р_<0|Р|0> = Й J ka+(k)a(k) k^dk.
Сравнивая выражение (16.40) с оператором числа частиц (16.30), мы видим,
что оператор Н можно интерпретировать как интеграл по возможным
состояниям к от функции, равной произведению энергии частицы ~hckt на
Частицы, поля и античастицы
183
число частиц в этом состоянии. Аналогичная интерпретация допустима и для
операторов компонент импульса Р. Таким образом, от поля мы перешли к
частицам.
Поскольку оператор Ф содержит как операторы а+, так и операторы а, в
оператор Н должны входить члены типа а+ а+. Но члены такого вида,
получающиеся из двух разных частей лагранжиана, взаимно уничтожаются.
Лишь отсутствие членов типа a+af позволило нам интерпретировать оператор
Н как гамильтониан системы невзаимодействующих частиц, к чему мы
стремились. Этим объясняется выбор коэффициента 62 в выражении для
плотности лагранжиана 2. Конечно, теория невзаимодействующих частиц,
подобная изложенной выше, бессодержательна. Но, добавляя в лагранжиан
другие члены, подобно тому как мы это делали в классических примерах § 1,
п. В, можно ввести взаимодействие полей и, следовательно, взаимодействие
частиц.
Так же как и в случае классических полей (§ 2, п. Б), закон сохранения
величин Р и Н вытекает из инвариантности плотности лагранжиана 2
относительно пространственных и временных сдвигов.
Рассмотренное выше поле подходит для описания л°-мезонов.
