Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (16.21)-это уравнение, описывающее изменение поля, так же как
уравнение (16.2)-это уравнение движения частицы. Если мы, как обычно,
выберем в качестве 2 квадратичную функцию переменных <р, Уф и Ф, то
уравнение (16.21) для полей ф(г, t) будет линейным уравнением с частными
производными не более второго порядка. Значит, обыкновенные
дифференциальные уравнения для координат частицы д,- (t) (§ 1) заменяются
теперь уравнением в частных производных для поля ф(г, t). Уравнения поля
непосредственно обобщаются на случай тензорных полей.
Симметрия полей
При построении лагранжианов частиц в § 1, п. В мы пользовались
инвариантностью относительно преобразований Пуанкаре подынтегрального
выражения Ldt в интеграле действия. Применим тот же принцип к полевым
лагранжианам, подобным выражению (16.20). Тогда плотность лагранжиана 2
должна быть инвариантной, поскольку инвариантен элемент объема dV dt.
(Определитель матрицы преобразования Лоренца равен 1.) Иначе говоря,
плотность лагранжиана 2 должна удовлетворять уравнению, которое формально
можно записать в виде 2 [ф(е)]= = 2 [ф' (Le -)- е)], где производные поля
мы для краткости опустили. Скалярное поле, определенное в п. А,
удовлетворяет этому требованию, что же касается произвол-
Частицы, поля и античастицы
173
ных поля Уф, ф и тензорных полей, то они должны входить в плотность
лагранжиана в виде сумм по компонентам, чтобы плотность была скаляром.
Законы сохранения
Гамильтониан мы определяем так же, как и в § 1, п. Б. Он тоже будет
динамическим инвариантом. В случае полей можно определить ^плотность
гамильтониана формулой
Я? = ф(й37дф) -2.
Тогда на основании инвариантности плотности 2 по отношению к временным
сдвигам можно доказать, что
гамильтониан Н = ЖdV постоянен. Аналогично, если плотность лагранжиана
инвариантна по отношению к пространственным сдвигам, то постоянен вектор
Р с компонентами Рц= J PqdV, где
й, :<3ф д Х
5*х = -=г--- и т. д.
^ <9ф
Доказательство этих результатов намечено в задаче 16.2. Компоненты
естественно назвать компонентами плотности импульса, поскольку это
постоянные величины, возникающие в результате трансляционной
инвариантности. Аналогично из инвариантности плотности 2 относительно
вращений следует закон сохранения углового момента.
В. Электромагнитное поле
Рассмотрим в качестве примера электромагнитное поле, которое, как мы
убедились в § 1, п. В, описывается четырехмерным векторным потенциалом А
или векторами напряженностей Е и В. Плотность лагранжиана должна быть
инвариантной. Для плотности лагранжиана можно было бы выбрать очевидное
выражение А-А. Но такое выражение приводит к тривиальному уравнению для
поля, и, кроме того, согласно сказанному в § 1, п. В, лишь производные Е
и В потенциала А имеют физический смысл.
174
Глава 16
В силу того что вектор E + iB преобразуется по представлению U1'0), а
вектор Е-iB-по представлению L<0'J), выражения Е2 - В2 и Е В лоренц-
инвариантны. Последнее выражение не инвариантно по отношению к
пространственной инверсии. Поэтому для плотности лагранжиана более
предпочтительно первое выражение. Такой выбор согласуется с
экспериментом. Обычно полагают
П2 П2
(16.22)
Мы не можем применить уравнение (16.21) непосредственно, так как оно
написано для скалярного поля. Но если в выражении (16.20) заменить поле
<р четырехмерным вектором А, то для каждой из четырех компонент
потенциала А получается уравнение поля типа уравнения (16.21). В силу
определения векторов Е и В [формула (16.17)] выражение (16.22) для
плотности $ квадратично относительно первых производных потенциала А.
После алгебраических преобразований четыре полевых уравнения принимают
следующий вид:
(дБ
(16.23)
div Е = 0.
rot В = ~Чугг ,
с at
Это уравнения Максвелла, описывающие поведение поля в отсутствие
заряженных частиц. Два других уравнения Максвелла получаются 7
непосредственно': из [ определений (16.17): -
diV В = о; : rot Е = - ~ (tm) .: Г(16.24)
В § 1, п. В7'мы рассматривали ' поведение частицы в поле, которое
считалось фиксированным, т. е. частица не влияла на само поле. Выше мы
[описали поведение поля в отсутствие зарядов. В общем случае мы должны
учесть, что заряженные частицы действуют на поле. Формально это
учитывается путем выбора в качестве плотности лагранжиана суммы члена
(16.22), отвечающего полю, и члена типа выражения (16.12),
просуммированного по всем присутствующим заряженным частицам. Тогда полу-
Частицы, поля и античастицы
175
чаются уравнения поля, более общие, нежели уравнения (16.23). Они
содержат члены, возникающие из-за присутствия в выражении (16.12)
потенциала А. Эти члены представляют собой плотность заряда и плотность
тока заряженных частиц. Таким образом, движение частиц в соответствии с
уравнением (16.16) и поведение самого поля оказываются связанными.
§ 3. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Классическое понятие поля было введено для описания взаимодействия между
частицами. Например, если одна заряженная частица создает поле и это поле
