Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(16.16), имеет размерность силы (в левой части стоит произведение массы
на ускорение) и называется силой Лоренца.
Дифференциальный оператор а = (^д/дх,д/ду,д/дг,-
есть четырехмерный вектор (гл. 15, § 4); следовательно, шестнадцать
величин ? г-Ау- преобразуются по представлению L<'/3. '/2) 0L(1/2'
равному произведению представлений группы Лоренца. Так как векторы Е и В
являются первыми производными компонент векторного потенциала А, они
содержат эти шестнадцать величин, и на основании разложения (15.37)
произведения представлений можно отождествить сумму E-f-tB с
представлением L(1-0), а разность Е -tB-с представлением L<°-D (задача
16.1).
Электромагнитное поле проявляется лишь во влиянии, оказываемом на
движение заряженной частицы в соответствии с уравнением (16.16). Значит,
любые два поля А с одинаковыми напряженностями Е и В с физической точки
зрения идентичны. Из уравнений (16.17) мы видим, что векторный потенциал
А определяется неоднозначно. Так, если f(г, t) - любая скалярная функция,
то вектор-
1?0
Глава 16
ный потенциал А' = (А',ф'), где
А' = A-f gradf, ф' = ф-1|,
описывает ту же физическую ситуацию, что и А. Выбор функции f называется
выбором калибровки.
?2. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ПОЛЕЙ
Понятие поля вводится для описания взаимодействия на расстоянии. Так,
если заряд е помещен в начало координат, а другой заряд е свободно
движется, то можно сказать, что первый заряд создает силовое поле с
напряженностью е2/г2, направленное от начала координат, а второй заряд
движется в этом поле. В данном случае мы имеем статическое поле, но,
вообще говоря, поле, может зависеть также от времени. Кроме того, поле
силе подобное рассмотренному выше, имеет в каждой точке направление.
Правда, в данном примере направление всегда задается просто вектором г,
но можно представить себе и более общие ситуации. Поле сил в нашем
примере, как хорошо известно, можно характеризовать полем потенциальной
энергии V (г) - е2/г, и тогда сила F определяется по величине и по
направлению соотношением F = -gradK(r). Заметим также, что поле V (г) не
имеет направления и представляет собой пример скалярного поля, тогда как
F-это пример векторного поля. Малые перемещения q, которые мы
рассматривали при изучении колебаний молекул в гл. 6,- другой пример
векторного поля; правда, такое поле не является функцией непрерывной
переменной г, вектор смещения зависит лишь от дискретного множества
равновесных положений колеблющихся атомов. Ниже мы дадим более точное
определение понятий скалярного, векторного и более общих полей.
А. Преобразования полей
Если при вращении R поле ф (г, t) преобразуется как ф'(г, ^) = ф(1^-1г,
t), то поле ф называется скалярным по отношению к вращениям. Если же поле
имеет 2s+1 компонент фда(г, t), где m = s, s-1, ..., -s и т-я компо-
Частицы, поля и античастицы
171
нента повернутого поля дается соотношением
Ф"(Г, O = 2'0(tm)T'(R)q>m'(R_1r. t), (16.18)
т'
то поле называется тензорным полем s-ro ранга. Это то самое
преобразование, которое мы получили в формуле (8.20) для компонент
волновой функции со спином s. Самый известный пример-векторное поле с s =
1. Здесь направление поля в каждой точке пространства определяется тремя
компонентами. Можно построить, конечно, поля, являющиеся комбинациями
полей с разными s. При заданном s поле неприводимо по отношению к группе
вращений и преобразуется по неприводимому1 представлению D<s>.
В четырехмерном случае поля можно классифицировать по их поведению при
преобразованиях Пуанкаре. Мы могли бы назвать величину <р (е) (в
обозначениях гл. 15, § 4, п. Б) скалярным полем, если преобразование
Пуанкаре дает новое поле <р' (е) = <р (L-1 (е-е)). Тензорные поля можно
классифицировать по представлениям L(/,/'), которым они принадлежат, в
соответствии с естественным обобщением равенства (16.18)
4W(e')= S ^^-(Мф^^-Ме-е)). (16.19)
тт'
Б. Уравнение Лагранжа для полей
Во втором примере в § 1, п. В мы включили поле в лагранжиан, но там поле
считалось заданным. Мы рассматривали только движение частицы в заданном
поле. Теперь мы посмотрим, как поле может вести себя само по себе, т. е.
в свободном пространстве. Более общую и более сложную задачу, когда поле
взаимодействует с частицами, движение которых вГсвою очередь воздействует
на поле, мы затронем лишь очень кратко. На основании вариационного
принципа (16.1) с подходящим лагранжианом можно вывести уравнения,
описывающие поведение поля. Лагранжиан будет зависеть от компонент поля
<pmm'(e), а не от координат qt. Его можно представить в виде интеграла
172
Глава 16
по всему пространству. В случае скалярного поля
L=\dV2{<p,\q>, ц>), (16.20)
где 2-функция поля <р и его производных Уф по пространственным
переменным, а также его производной по времени cp(=dcp/dt). Такая функция
называется плотностью лагранжиана. Далее из вариационного принципа 6S = 0
получаем обобщенное уравнение Лагранжа
д (дХ\ . ^ дХ дХ " /1с on
которое называется уравнением поля.
